Сумма катета и гипотенузы равна 36 см. Отношение этого катета к гипотенузе 1 : 2. Найдите меньший из отрезков, на которые высота треугольника делит гипотенузу.

Пусть (a) - катет, (c) - гипотенуза, (x) и (y) - отрезки, на которые высота делит гипотенузу, причем (x < y). По условию, (a + c = 36) и (a/c = 1/2).

Выразим (a) через (c): (a = c/2). Подставим это в первое уравнение: (c/2 + c = 36), то есть (3c/2 = 36). Отсюда, (c = 36 * (2/3) = 24) см.

Теперь найдем (a): (a = c/2 = 24/2 = 12) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки (x) и (y). Катет (a) является средним геометрическим между гипотенузой (c) и отрезком (x), то есть (a^2 = c * x).

Подставим известные значения: (12^2 = 24 * x), то есть (144 = 24 * x). Отсюда, (x = 144 / 24 = 6) см.

Так как (x + y = c), то (y = c - x = 24 - 6 = 18) см.

Меньший из отрезков равен 6 см.

Ответ: 6 см