664 Стороны угла А пересечены параллельными прямыми ВСи DE, причём точки В и Д лежат на одной стороне угла, а Си Е на другой. Найдите: а) АС, если СЕ = 10 см, AD = 22 см, BD-8 см; 6) BD и DE, если АВ = 10 см, АС = 8 см, ВС = 4 см, СЕ = 4 см; в) ВС, если АВ: BD = 2:1 и DE = 12 см.

а) Обозначим длину отрезка АС за x.

Рассмотрим треугольники ABC и ADE. Угол A - общий, углы ABC и ADE равны как соответственные углы при параллельных прямых BC и DE и секущей AB. Следовательно, треугольники ABC и ADE подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорция:$$\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}$$.

Выразим длины отрезков AB и AE через известные величины: AB = AD - BD = 22 - 8 = 14 см, AE = AC + CE = x + 10 см.

Подставим эти выражения в пропорцию: $$\frac{14}{22} = \frac{x}{x + 10}$$.

Решим уравнение:$$14(x + 10) = 22x \implies 14x + 140 = 22x \implies 8x = 140 \implies x = 17.5$$.

Следовательно, AC = 17.5 см.

Ответ: 17,5 см

---

б) Обозначим длину отрезка DE за x.

Рассмотрим треугольники ABC и ADE. Угол A - общий, углы ABC и ADE равны как соответственные углы при параллельных прямых BC и DE и секущей AB. Следовательно, треугольники ABC и ADE подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорция:$$\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DE}$$.

Выразим длины отрезков AD через известные величины: AD = AB + BD = 10 + BD.

Подставим известные величины в пропорцию: $$\frac{10}{10 + BD} = \frac{4}{x}$$.

Также из подобия треугольников следует пропорция: $$\frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE}$$.

Выразим длины отрезков AE через известные величины: AE = AC + CE = 8 + 4 = 12 см.

Подставим известные величины в пропорцию: $$\frac{8}{12} = \frac{4}{x} \implies 8x = 48 \implies x = 6$$.

Следовательно, DE = 6 см.

Теперь найдем BD: $$\frac{10}{10 + BD} = \frac{4}{6} \implies 60 = 40 + 4BD \implies 20 = 4BD \implies BD = 5$$.

Следовательно, BD = 5 см.

Ответ: BD = 5 см, DE = 6 см

---

в) Обозначим длину отрезка BC за x.

Из условия AB:BD = 2:1, следовательно, AB = 2BD.

Рассмотрим треугольники ABC и ADE. Угол A - общий, углы ABC и ADE равны как соответственные углы при параллельных прямых BC и DE и секущей AB. Следовательно, треугольники ABC и ADE подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорция:$$\frac{AB}{AD} = \frac{BC}{DE}$$.

Выразим длину отрезка AD через известные величины: AD = AB + BD = 2BD + BD = 3BD.

Выразим длину отрезка AB через известные величины: AB = 2BD.

Подставим эти выражения в пропорцию: $$\frac{2BD}{3BD} = \frac{x}{12} \implies \frac{2}{3} = \frac{x}{12} \implies 3x = 24 \implies x = 8$$.

Следовательно, BC = 8 см.

Ответ: 8 см