665 Прямые а и в пересечены параллельными прямыми АА1, ВВ СС₁, причём точки А, В и С лежат на прямой а, а точки А В₁ и С₁ - на прямой в. Докажите, что BC AB A1B1 BC1

Пусть прямые $$AA_1, BB_1, CC_1$$ пересекают прямую a в точках A, B, C, а прямую b в точках $$A_1, B_1, C_1$$. Докажем, что $$\frac{AB}{BC} = \frac{A_1B_1}{B_1C_1}$$.

Проведём через точку B прямую BD, параллельную прямой b. Пусть прямая $$AA_1$$ пересекает BD в точке E, а прямая $$CC_1$$ - в точке F.

Тогда $$A_1B_1 = EB$$ и $$B_1C_1 = BF$$.

Рассмотрим четырёхугольник $$AA_1B_1B$$. Так как $$AA_1 \parallel BB_1$$ и $$AB \parallel A_1B_1$$, то $$AA_1B_1B$$ - параллелограмм. Значит, $$AA_1 = EB$$ и $$A_1B_1 = BE$$.

Аналогично, $$BB_1CC_1$$ - параллелограмм. Значит, $$BB_1 = CF$$ и $$B_1C_1 = CF$$.

Рассмотрим треугольник BDE. Прямая $$AA_1$$ параллельна BD. По теореме Фалеса, $$\frac{AB}{BC} = \frac{AE}{EF}$$.

Рассмотрим треугольник BCF. Прямая $$BB_1$$ параллельна CF. По теореме Фалеса, $$\frac{A_1B_1}{B_1C_1} = \frac{BE}{BF}$$.

Так как $$AE = A_1B_1$$ и $$EF = B_1C_1$$, то $$\frac{AB}{BC} = \frac{A_1B_1}{B_1C_1}$$.

Ответ: Доказано.