Решение

В правильном треугольнике все стороны равны.

Длина вектора \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\) равна длине вектора, направленного из вершины A в середину стороны BC, умноженной на 2. Обозначим середину стороны BC буквой M. Тогда \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AM}\).

В правильном треугольнике медиана, проведённая к стороне, также является высотой. Значит, AM перпендикулярна BC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM. В нем AB = 2√3, BM = √3 (так как M - середина BC).

По теореме Пифагора, AM = \(\sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{12 - 3} = \sqrt{9} = 3\).

Длина вектора \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\) равна 2 * AM = 2 * 3 = 6.

Ответ: 6