Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
3. Сторона ромба равна 4, а один из углов этого ромба равен 150°. Найдите высоту этого ромба. 4. В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании. Найдите большее основание. 5. Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если АВ = 6.
Ответ:
3.
- Угол, смежный с углом ромба в 150°, равен $$180\deg - 150\deg = 30\deg$$.
- Высота ромба, проведённая к стороне, является катетом прямоугольного треугольника, лежащим против угла в 30°.
- Этот катет равен половине гипотенузы (стороны ромба).
- Тогда высота ромба равна $$4 div 2 = 2$$.
- Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой трапеции, боковой стороной и частью большего основания.
- Один из углов этого треугольника равен 45°. Следовательно, второй острый угол также равен 45° (так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°).
- Это означает, что треугольник равнобедренный, и высота трапеции равна отрезку большего основания, на который она опущена, то есть равна 5.
- Большее основание трапеции равно сумме меньшего основания и двух отрезков, равных высоте.
- Таким образом, большее основание равно $$6 + 5 + 5 = 16$$.
- Так как биссектрисы углов $$\angle A$$ и $$\angle D$$ параллелограмма $$\text{ABCD}$$ пересекаются в точке $$\text{M}$$, лежащей на стороне $$\text{BC}$$, то $$\text{AM}$$ и $$\text{DM}$$ — биссектрисы углов параллелограмма.
- В параллелограмме $$\angle A + \angle D = 180\deg$$, так как это односторонние углы при параллельных прямых $$\text{AB}$$ и $$\text{CD}$$ и секущей $$\text{AD}$$.
- Тогда $$\frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle D = 90\deg$$.
- В треугольнике $$\text{AMD}$$: $$\angle AMD = 180\deg - (\frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle D) = 180\deg - 90\deg = 90\deg$$.
- Следовательно, треугольник $$\text{AMD}$$ — прямоугольный.
- Так как $$\text{AM}$$ и $$\text{DM}$$ — биссектрисы, то $$\angle BAM = \angle MAD$$ и $$\angle ADM = \angle MDC$$.
- По условию, точка $$\text{M}$$ лежит на стороне $$\text{BC}$$. Значит, $$\text{AB = BM}$$ и $$\text{CD = CM}$$.
- Тогда $$\text{BC = BM + MC = AB + CD}$$. Так как в параллелограмме противоположные стороны равны, то $$\text{BC = AB = 6}$$.
- Периметр параллелограмма $$\text{ABCD}$$ равен $$2 \cdot (\text{AB + BC}) = 2 \cdot (6 + 6) = 24$$.
Похожие
