Сторона равностороннего треугольника АВС равна а. Найдите: a) |$$\vec{AB} + \vec{BC}$$|; б) |$$\vec{AB} + \vec{AC}$$|; в) |$$\vec{AB} + \vec{CB}$$|; г) |$$\vec{BA} - \vec{BC}$$|; д) |$$\vec{AB} - \vec{AC}$$|.

a) |$$\vec{AB} + \vec{BC}$$|

По правилу сложения векторов, если векторы складываются последовательно, то суммой будет вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего.

$$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$$

Так как треугольник равносторонний, то |$$\vec{AC}$$| = a.

Ответ: a

б) |$$\vec{AB} + \vec{AC}$$|

Дополним векторы до параллелограмма ABCD. Тогда диагональ AD будет суммой векторов AB и AC.

|$$\vec{AD}$$| = |$$\vec{AB} + \vec{AC}$$|

Угол между векторами AB и AC равен 60 градусов, так как треугольник равносторонний. Рассмотрим параллелограмм ABCD.

По теореме косинусов:

$$AD^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos(120)$$

$$AD^2 = a^2 + a^2 - 2 * a * a * (-0.5)$$

$$AD^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2$$

$$AD = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$$

Ответ: $$a\sqrt{3}$$

в) |$$\vec{AB} + \vec{CB}$$|

$$\vec{CB} = -\vec{BC}$$

|$$\vec{AB} - \vec{BC}$$|

Построим вектор -\vec{BC}. Тогда |$$\vec{AB} - \vec{BC}$$| будет равен длине вектора, соединяющего начало вектора \vec{AB} с концом вектора -\vec{BC}. Обозначим этот вектор за \vec{AD}.

В параллелограмме ABCD угол ABC равен 120 градусов, так как это внешний угол равностороннего треугольника.

По теореме косинусов:

$$AD^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(120)$$

$$AD^2 = a^2 + a^2 - 2 * a * a * (-0.5)$$

$$AD^2 = 2a^2 + a^2 = 3a^2$$

$$AD = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$$

Ответ: $$a\sqrt{3}$$

г) |$$\vec{BA} - \vec{BC}$$|

$$\vec{BA} = -\vec{AB}$$

|$$\vec{BA} - \vec{BC}$$| = |$$-\vec{AB} - \vec{BC}$$| = |$$-(\vec{AB} + \vec{BC})$$| = |$$\vec{AB} + \vec{BC}$$| = a

Ответ: a

д) |$$\vec{AB} - \vec{AC}$$|

$$\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$$

Так как треугольник равносторонний, то |$$\vec{CB}$$| = a.

Ответ: a