2. Сторона правильного треугольника $$4\sqrt{3}$$. Найдите: а) периметр треугольника; б) площадь треугольника; в) радиус описанной окружности; г) радиус вписанной окружности.

Дано: правильный треугольник со стороной $$a = 4\sqrt{3}$$.

а) Периметр треугольника:

Периметр правильного треугольника равен сумме длин всех его сторон. Так как все стороны равны, периметр равен утроенной длине стороны: $$P = 3a = 3 \times 4\sqrt{3} = 12\sqrt{3}$$.

Ответ: Периметр треугольника равен $$12\sqrt{3}$$.

б) Площадь треугольника:

Площадь правильного треугольника можно вычислить по формуле: $$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$. Подставим значение стороны: $$S = \frac{(4\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16 \times 3 \times \sqrt{3}}{4} = \frac{48\sqrt{3}}{4} = 12\sqrt{3}$$.

Ответ: Площадь треугольника равна $$12\sqrt{3}$$.

в) Радиус описанной окружности:

Радиус описанной окружности для правильного треугольника вычисляется по формуле: $$R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$$. Подставим значение стороны: $$R = \frac{4\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{3} = \frac{4 \times 3}{3} = 4$$.

Ответ: Радиус описанной окружности равен $$4$$.

г) Радиус вписанной окружности:

Радиус вписанной окружности для правильного треугольника вычисляется по формуле: $$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$. Подставим значение стороны: $$r = \frac{4\sqrt{3} \times \sqrt{3}}{6} = \frac{4 \times 3}{6} = \frac{12}{6} = 2$$.

Ответ: Радиус вписанной окружности равен $$2$$.