SQ = TR = 20, ∠MQR = 60°, QR - SM = 8, SM, QR - ?

Дано: SQ = TR = 20, ∠MQR = 60°, QR - SM = 8.

Найти: SM, QR.

Предположим, что данная фигура - трапеция STQR. Тогда углы при основании QR равны, и трапеция равнобедренная.

Рассмотрим треугольник MQR. В нём известен угол ∠MQR = 60°.

Проведем высоту из точки S на основание QR, SH перпендикулярна QR.

Рассмотрим треугольник SMH. В нём известен угол ∠MQR = 60°, SH = TR = 20.

Выразим SM через QR, зная, что QR - SM = 8, тогда SM = QR - 8.

В прямоугольном треугольнике SMH синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

$$sin(60°) = \frac{SH}{SM}$$

$$sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{20}{SM}$$

$$SM = \frac{40}{\sqrt{3}} = \frac{40 \sqrt{3}}{3}$$

$$QR = SM + 8 = \frac{40 \sqrt{3}}{3} + 8 = \frac{40 \sqrt{3} + 24}{3}$$

Ответ: $$SM = \frac{40 \sqrt{3}}{3}$$, $$QR = \frac{40 \sqrt{3} + 24}{3}$$.