Составьте уравнение, корни которого на 3 больше корней уравнения $$x^2 + 12x + 6 = 0$$.

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ корни уравнения $$x^2 + 12x + 6 = 0$$. По теореме Виета, имеем:

• $$x_1 + x_2 = -12$$
• $$x_1 \cdot x_2 = 6$$

Нам нужно составить новое уравнение, корни которого будут на 3 больше, то есть $$y_1 = x_1 + 3$$ и $$y_2 = x_2 + 3$$. Снова используем теорему Виета для нового уравнения.

Сумма новых корней:

$$y_1 + y_2 = (x_1 + 3) + (x_2 + 3) = (x_1 + x_2) + 6 = -12 + 6 = -6$$

Произведение новых корней:

$$y_1 \cdot y_2 = (x_1 + 3)(x_2 + 3) = x_1x_2 + 3x_1 + 3x_2 + 9 = x_1x_2 + 3(x_1 + x_2) + 9 = 6 + 3(-12) + 9 = 6 - 36 + 9 = -21$$

Новое уравнение будет иметь вид: $$y^2 - (y_1 + y_2)y + y_1y_2 = 0$$.

Подставляем значения:

$$y^2 - (-6)y + (-21) = 0$$

Упрощаем:

$$y^2 + 6y - 21 = 0$$

Ответ: Искомое уравнение: $$y^2 + 6y - 21 = 0$$.