Solve the following problem: Given: $$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 4$$ Find: $$\frac{x^4 + y^4}{x^2y^2}$$

Дано: $$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 4$$

Найти: $$\frac{x^4 + y^4}{x^2y^2}$$

Решение:

1. Преобразуем первое уравнение: $$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = \frac{x^2 + y^2}{xy} = 4$$
2. Выразим $$x^2 + y^2$$ через $$xy$$: $$x^2 + y^2 = 4xy$$
3. Теперь рассмотрим выражение, которое нужно найти: $$\frac{x^4 + y^4}{x^2y^2}$$
4. Заметим, что $$x^4 + y^4$$ можно представить как $$(x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2$$. Тогда: $$\frac{x^4 + y^4}{x^2y^2} = \frac{(x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2}{x^2y^2}$$
5. Подставим $$x^2 + y^2 = 4xy$$ в это выражение: $$\frac{(4xy)^2 - 2x^2y^2}{x^2y^2} = \frac{16x^2y^2 - 2x^2y^2}{x^2y^2} = \frac{14x^2y^2}{x^2y^2} = 14$$

Ответ: 14