Solve the equation: \(\frac{3}{x} = x - 2\)

Решение:

• Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \(\frac{3}{x} - x + 2 = 0\)
• Приведем к общему знаменателю x: \(\frac{3 - x^2 + 2x}{x} = 0\)
• Для того чтобы дробь равнялась нулю, числитель должен равняться нулю, а знаменатель не должен:
• Числитель: \(-x^2 + 2x + 3 = 0\)
• Умножим на -1, чтобы коэффициент при x² был положительным: \(x^2 - 2x - 3 = 0\)
• Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
• D = b² - 4ac = (-2)² - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16
• √D = 4
• Найдем корни:
• x₁ = \(\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\) = \(\frac{2 + 4}{2(1)}\) = \(\frac{6}{2}\) = 3
• x₂ = \(\frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\) = \(\frac{2 - 4}{2(1)}\) = \(\frac{-2}{2}\) = -1
• Проверим знаменатель: x ≠ 0. Оба корня (3 и -1) не равны нулю, поэтому подходят.

Ответ: x = 3, x = -1