Решение уравнения

Для решения данного уравнения, мы можем сделать замену переменной, чтобы упростить выражение. Пусть $$y = \sqrt{2x+1}$$. Тогда $$y^2 = 2x+1$$. Теперь уравнение можно переписать в терминах $$y$$:

$$\frac{25}{y^2} + \frac{10}{y} = 3$$

Умножим обе части уравнения на $$y^2$$, чтобы избавиться от дробей:

$$25 + 10y = 3y^2$$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$$3y^2 - 10y - 25 = 0$$

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратную формулу:

$$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

В нашем случае, $$a = 3$$, $$b = -10$$, и $$c = -25$$. Подставим эти значения в формулу:

$$y = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(3)(-25)}}{2(3)}$$ $$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 300}}{6}$$ $$y = \frac{10 \pm \sqrt{400}}{6}$$ $$y = \frac{10 \pm 20}{6}$$

Мы получим два возможных значения для $$y$$:

$$y_1 = \frac{10 + 20}{6} = \frac{30}{6} = 5$$ $$y_2 = \frac{10 - 20}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$$

Теперь вернемся к нашей замене $$y = \sqrt{2x+1}$$. Так как корень не может быть отрицательным, мы можем отбросить решение $$y_2 = -\frac{5}{3}$$. Таким образом, у нас остается:

$$\sqrt{2x+1} = 5$$

Возведем обе части в квадрат:

$$2x+1 = 25$$

Теперь решим для $$x$$:

$$2x = 24$$ $$x = 12$$

Ответ:

$$\boxed{x=12}$$