Сокращение дробей

Для упрощения каждой дроби мы разложим числитель и знаменатель на множители, а затем сократим общие множители.

1. a) $$ \frac{5a}{15ab} $$

Разложим знаменатель на множители: $$ 15ab = 5 \cdot 3 \cdot a \cdot b $$. Теперь сократим числитель и знаменатель на общий множитель $$ 5a $$:

$$ \frac{5a}{15ab} = \frac{5a}{5a \cdot 3b} = \frac{1}{3b} $$

Ответ: $$ \frac{1}{3b} $$

1. b) $$ \frac{3x}{21x^3} $$

Разложим знаменатель на множители: $$ 21x^3 = 3 \cdot 7 \cdot x \cdot x^2 $$. Теперь сократим числитель и знаменатель на общий множитель $$ 3x $$:

$$ \frac{3x}{21x^3} = \frac{3x}{3x \cdot 7x^2} = \frac{1}{7x^2} $$

Ответ: $$ \frac{1}{7x^2} $$

2. a) $$ \frac{3a + 3b}{6(a + b)} $$

Вынесем общий множитель 3 в числителе: $$ 3a + 3b = 3(a + b) $$. Теперь дробь выглядит так:

$$ \frac{3(a + b)}{6(a + b)} $$

Сократим числитель и знаменатель на общий множитель $$ 3(a + b) $$:

$$ \frac{3(a + b)}{6(a + b)} = \frac{3(a + b)}{3(a + b) \cdot 2} = \frac{1}{2} $$

Ответ: $$ \frac{1}{2} $$

2. b) $$ \frac{a^2b^5}{ab^7} $$

Разложим числитель и знаменатель на множители:

$$ a^2b^5 = a \cdot a \cdot b \cdot b \cdot b \cdot b \cdot b $$ $$ ab^7 = a \cdot b \cdot b \cdot b \cdot b \cdot b \cdot b \cdot b $$

Теперь сократим числитель и знаменатель на общий множитель $$ ab^5 $$:

$$ \frac{a^2b^5}{ab^7} = \frac{ab^5 \cdot a}{ab^5 \cdot b^2} = \frac{a}{b^2} $$

Ответ: $$ \frac{a}{b^2} $$

3. б) $$ \frac{y^2 - 16}{4y^2 - y^3} $$

Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель является разностью квадратов: $$ y^2 - 16 = (y - 4)(y + 4) $$. В знаменателе вынесем общий множитель y^2: $$ 4y^2 - y^3 = y^2(4 - y) $$.

Теперь дробь выглядит так:

$$ \frac{(y - 4)(y + 4)}{y^2(4 - y)} $$

Заметим, что $$ (y - 4) = -(4 - y) $$. Тогда:

$$ \frac{(y - 4)(y + 4)}{y^2(4 - y)} = \frac{-(4 - y)(y + 4)}{y^2(4 - y)} = -\frac{y + 4}{y^2} $$

Ответ: $$ -\frac{y + 4}{y^2} $$