Анализ количества решений систем уравнений

Чтобы определить количество решений системы уравнений в зависимости от параметра a, нужно рассмотреть каждый случай отдельно.

1. Система уравнений:
   egin{cases} y = |x|, \\ x^2 + y = a end{cases}
   В этой системе y всегда неотрицателен, так как y равен модулю x. Подставляя y в уравнение круга, получим x² + |x| = a. Количество решений будет зависеть от того, как график y = x² + |x| пересекает прямая y = a.
2. Система уравнений:
   egin{cases} x^2 + y^2 = a^2, \\ |x| = 4 end{cases}
   Здесь мы имеем окружность с центром в начале координат и радиусом |a|, и две вертикальные прямые x = 4 и x = -4. Количество решений будет определяться тем, сколько раз эти прямые пересекают окружность.
3. Система уравнений:
   egin{cases} y - x = 1, \\ xy = a end{cases}
   Выразим y через x из первого уравнения: y = x + 1. Подставим во второе уравнение: x(x + 1) = a, или x² + x - a = 0. Количество решений этого квадратного уравнения определяется дискриминантом.
4. Система уравнений:
   egin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = x^2 + a end{cases}
   Здесь мы имеем окружность с центром в начале координат и радиусом 2, и параболу y = x² + a. Количество решений будет зависеть от взаимного расположения окружности и параболы.