Сформулируйте правила умножения и деления обыкновенных дробей и выполните действия: \(\frac{12}{25} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{8}{9} : \frac{4}{15} : 2 : \frac{10}{7}\)

Правило умножения обыкновенных дробей:

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно умножить числитель на числитель и знаменатель на знаменатель.

Правило деления обыкновенных дробей:

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Выполнение действий:

1. Преобразуем целое число 2 в дробь: \( 2 = \frac{2}{1} \).
2. Применим правила умножения и деления:

\( \frac{12}{25} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{8}{9} : \frac{4}{15} : \frac{2}{1} : \frac{10}{7} = \right.

\( = \frac{12}{25} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{8}{9} \cdot \frac{15}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{10} = \right.

\( = \frac{12 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 15 \cdot 1 \cdot 7}{25 \cdot 6 \cdot 9 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 10} = \right.

\( = \frac{(2 \cdot 6) \cdot 5 \cdot 8 \cdot (3 \cdot 5) \cdot 7}{(5 \cdot 5) \cdot 6 \cdot 9 \cdot 4 \cdot 2 \cdot (2 \cdot 5)} = \right.

Сократим общие множители в числителе и знаменателе:

\( = \frac{2 \cdot \cancel{6} \cdot \cancel{5} \cdot 8 \cdot 3 \cdot \cancel{5} \cdot 7}{\cancel{5} \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{6} \cdot 9 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cancel{5}} = \right.

\( = \frac{2 \cdot 8 \cdot 3 \cdot 7}{9 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5} = \right.

\( = \frac{2 \cdot (2 \cdot 4) \cdot 3 \cdot 7}{9 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 5} = \right.

\( = \frac{2 \cdot 2 \cdot \cancel{4} \cdot 3 \cdot 7}{9 \cdot \cancel{4} \cdot 4 \cdot 5} = \right.

\( = \frac{4 \cdot 3 \cdot 7}{9 \cdot 4 \cdot 5} = \right.

\( = \frac{\cancel{4} \cdot 3 \cdot 7}{9 \cdot \cancel{4} \cdot 5} = \right.

\( = \frac{3 \cdot 7}{9 \cdot 5} = \right.

\( = \frac{\cancel{3} \cdot 7}{(\cancel{3} \cdot 3) \cdot 5} = \right.

\( = \frac{7}{3 \cdot 5} = \frac{7}{15} \right.

Ответ: \( \frac{7}{15} \).