Сформулируйте новые признаки равенства треугольников, используя не только стороны и углы, но также медианы, биссектрисы и высоты треугольников. Примеры таких признаков дают задачи 161, 176, 329. Эта задача может быть поставлена перед группой учащихся: создать банк признаков равенства треугольников; может использоваться как предмет интеллектуального соревнования между двумя или несколькими группами учащихся.

Решение:

Новые признаки равенства треугольников (помимо стандартных: по двум сторонам и углу между ними (СУС), по стороне и двум прилежащим углам (УСУ), по трём сторонам (ССС)):

1. Признак равенства треугольников по двум сторонам и медиане, проведённой к одной из этих сторон: Если две стороны и медиана, исходящая из вершины, соответствующей углу между этими сторонами, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника, проведённой из соответствующей вершины, то такие треугольники равны.
2. Признак равенства треугольников по двум сторонам и биссектрисе, проведённой из вершины угла между этими сторонами: Если две стороны и биссектриса, исходящая из вершины угла между этими сторонами, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе другого треугольника, проведённой из соответствующей вершины, то такие треугольники равны.
3. Признак равенства треугольников по двум сторонам и высоте, проведённой к одной из этих сторон: Если две стороны и высота, проведённая к одной из этих сторон, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и высоте другого треугольника, проведённой к соответствующей стороне, то такие треугольники равны.
4. Признак равенства треугольников по стороне и двум медианам, проведённым к двум другим сторонам: Если сторона и две медианы, проведённые к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне и двум медианам другого треугольника, проведённым к соответствующим сторонам, то такие треугольники равны.
5. Признак равенства треугольников по стороне и двум биссектрисам, проведённым к двум другим сторонам: Если сторона и две биссектрисы, проведённые к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне и двум биссектрисам другого треугольника, проведённым к соответствующим сторонам, то такие треугольники равны.
6. Признак равенства треугольников по стороне и двум высотам, проведённым к двум другим сторонам: Если сторона и две высоты, проведённые к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне и двум высотам другого треугольника, проведённым к соответствующим сторонам, то такие треугольники равны.
7. Признак равенства треугольников по стороне и медиане, проведённым к этой стороне: Если сторона и медиана, проведённая к этой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне и медиане другого треугольника, проведённой к соответствующей стороне, то такие треугольники равны.
8. Признак равенства треугольников по стороне и биссектрисе, проведённой к этой стороне: Если сторона и биссектриса, проведённая к этой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне и биссектрисе другого треугольника, проведённой к соответствующей стороне, то такие треугольники равны.
9. Признак равенства треугольников по стороне и высоте, проведённой к этой стороне: Если сторона и высота, проведённая к этой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне и высоте другого треугольника, проведённой к соответствующей стороне, то такие треугольники равны.

Банк признаков равенства треугольников может включать, в том числе, следующие:

• По двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне.
• По двум сторонам и биссектрисе, проведённой из вершины угла между ними.
• По двум сторонам и высоте, проведённой к одной из сторон.
• По стороне и двум медианам, проведённым к двум другим сторонам.
• По стороне и двум биссектрисам, проведённым к двум другим сторонам.
• По стороне и двум высотам, проведённым к двум другим сторонам.