Сформулируйте и докажите свойства противоположных сторон и углов параллелограмма.

Свойства противоположных сторон и углов параллелограмма:

1. Противоположные стороны параллелограмма равны.


2. Противоположные углы параллелограмма равны.

Доказательство:

Пусть дан параллелограмм ABCD, где AB || CD и BC || AD.

1. Докажем, что AB = CD и BC = AD.

Проведем диагональ AC. Рассмотрим треугольники ABC и CDA. У них:

• AC - общая сторона.


• ∠BAC = ∠DCA (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC).


• ∠BCA = ∠DAC (как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC).

Следовательно, треугольники ABC и CDA равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует, что AB = CD и BC = AD.

2. Докажем, что ∠ABC = ∠CDA и ∠BAD = ∠DCB.

Так как треугольники ABC и CDA равны, то ∠ABC = ∠CDA.

Аналогично, проведем диагональ BD. Рассмотрим треугольники ABD и CDB. У них:

• BD - общая сторона.


• AB = CD (доказано выше).


• AD = BC (доказано выше).

Следовательно, треугольники ABD и CDB равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует, что ∠BAD = ∠DCB.

Таким образом, мы доказали, что противоположные стороны и углы параллелограмма равны.