Решение

Пусть дан треугольник ABC, в котором ∠B = 45°. Пусть серединный перпендикуляр к стороне BC пересекает BC в точке M и AB в точке D. Так как DM – серединный перпендикуляр к BC, то DM ⊥ BC и BM = MC.

1. Рассмотрим треугольник DMB. В этом треугольнике ∠DMB = 90°, ∠DBM = ∠B = 45°. Следовательно, ∠BDM = 180° - 90° - 45° = 45°. Таким образом, треугольник DMB равнобедренный, и DM = BM.

2. Так как BM = MC, то DM = MC.

3. Рассмотрим треугольник DMC. В этом треугольнике DM = MC, следовательно, треугольник DMC равнобедренный с основанием DC. Поэтому, углы при основании равны: ∠MDC = ∠MCD.

4. Пусть ∠MDC = ∠MCD = x. Тогда ∠DMC = 180° - 2x.

5. Рассмотрим угол ∠DMA. Так как ∠DMC и ∠DMA смежные, то ∠DMA = 180° - ∠DMC = 180° - (180° - 2x) = 2x.

6. Рассмотрим треугольник ADC. В этом треугольнике ∠ADC = ∠BDM = 45°, ∠ACD = ∠MCD = x.

7. Рассмотрим угол ∠DAC = 180° - ∠ADC - ∠ACD = 180° - 45° - x = 135° - x.

8. Сравним углы ∠DAC и ∠ACD. Мы имеем ∠DAC = 135° - x, ∠ACD = x. Так как x – это угол треугольника, то 0° < x < 180°. Следовательно, 135° - x > x.

9. Таким образом, ∠DAC > ∠ACD. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Следовательно, DC > AD.

10. Рассмотрим треугольник ADC. В нем выполняется неравенство треугольника: AC + AD > DC.

11. Поскольку DM - перпендикуляр к BC, то ∠DMB = 90°. В прямоугольном треугольнике DBC, где ∠B = 45°, катет DM равен катету BM. Поскольку BM = MC, то DM = MC, следовательно, ∠MDC = ∠MCD.

12. Поскольку ∠BDM = 45°, а ∠MDC = ∠MCD, то ∠ADC > ∠MCD.

13. Следовательно, в треугольнике ADC, против большего угла ∠ADC лежит большая сторона AC, а против угла ∠ACD лежит сторона AD. Таким образом, AC > AD.