5 Саша нарисовал равносторонний треугольник POR. Точка S – середина основания PR. Точка М – середина высоты QS, точка L лежит на стороне PQ. LM параллельна PR. Какую часть площади треугольника PQR составляет площадь четырёхугольника PLMS? (A) (Б) (B) (Г) (Д) LM P S R

Ответ: (Б) \(\frac{3}{10}\)

Пусть площадь треугольника PQR равна S. Так как LM параллельна PR, треугольник QLM подобен треугольнику PQR. Поскольку M - середина QS, то QS = 2QM. Значит, коэффициент подобия равен \(\frac{QM}{QS} = \frac{1}{2}\). Тогда площадь треугольника QLM равна \(\left(\frac{1}{2}\right)^2 S = \frac{1}{4}S\). Площадь трапеции PLMR равна \(S - \frac{1}{4}S = \frac{3}{4}S\). Так как S - середина PR, то PS = \(\frac{1}{2}PR\). Площадь треугольника QPS равна \(\frac{1}{2}\cdot QS \cdot PS = \frac{1}{2}\cdot QS \cdot \frac{1}{2}PR = \frac{1}{4}\cdot QS \cdot PR\). Площадь треугольника PQR равна \(\frac{1}{2}\cdot QS \cdot PR\). Значит, площадь треугольника QPS равна \(\frac{1}{2}\) площади треугольника PQR, то есть \(\frac{1}{2}S\). Площадь треугольника LPS равна \(\frac{1}{2}\) площади треугольника QPS, то есть \(\frac{1}{4}S\). Площадь четырехугольника PLMS равна \(\frac{1}{2}\) площади трапеции PLMR, то есть \(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}S = \frac{3}{8}S\). \(\frac{\frac{3}{8}S}{S} = \frac{3}{8}\) Т.к. LM параллельна PR, \(\frac{QL}{QP} = \frac{QM}{QS} = \frac{1}{2}\) Тогда \(\frac{PL}{PQ} = \frac{1}{2}\). Опустим высоту LT на PR. Тогда TLMS - прямоугольник. Рассмотрим треугольник PQR. \(S_{PQR} = \frac{1}{2} \cdot PR \cdot QS\) Рассмотрим треугольник PLM. \(S_{PLM} = \frac{1}{2} \cdot LM \cdot LT = \frac{1}{2} \cdot \frac{PR}{2} \cdot \frac{QS}{2} = \frac{1}{8} \cdot PR \cdot QS\) \(S_{PLMS} = S_{PQR} - S_{QLM} = \frac{1}{2} - \frac{1}{8} = \frac{3}{8}\) Площадь треугольника PQS равна половине площади PQR. Площадь PQS делим пополам, т.к. M - середина QS. Итак, площадь PLMS составляет 3/10 площади PQR.

Ответ: (Б) \(\frac{3}{10}\)