Самостоятельная работа по теме «Простейшие задачи в координатах». Вариант 1. Дано: А(2; - 4), B(-2;-6), C(0;7). Найти: а) координаты вектора ВС; б) длину вектора АВ; в) координаты середины отрезка АС; г) периметр треугольника АВС; д) длину медианы ВМ.

а) координаты вектора ВС

Чтобы найти координаты вектора ВС, нужно из координат конца (точка С) вычесть координаты начала (точка В):

$$BC = (x_C - x_B; y_C - y_B)$$$$BC = (0 - (-2); 7 - (-6))$$$$BC = (2; 13)$$

Ответ: BC (2; 13)

б) длину вектора АВ

Чтобы найти длину вектора АВ, сначала найдем координаты вектора АВ, затем используем формулу длины вектора:

$$AB = (x_B - x_A; y_B - y_A)$$$$AB = (-2 - 2; -6 - (-4))$$$$AB = (-4; -2)$$$$|AB| = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2}$$$$|AB| = \sqrt{16 + 4}$$$$|AB| = \sqrt{20}$$$$|AB| = 2\sqrt{5}$$

Ответ: Длина вектора AB равна $$2\sqrt{5}$$

в) координаты середины отрезка АС

Чтобы найти координаты середины отрезка АС, используем формулу координат середины отрезка:

$$x_M = \frac{x_A + x_C}{2}$$$$y_M = \frac{y_A + y_C}{2}$$$$x_M = \frac{2 + 0}{2} = 1$$$$y_M = \frac{-4 + 7}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$$

Ответ: Координаты середины отрезка AC: (1; 1,5)

г) периметр треугольника АВС

Чтобы найти периметр треугольника ABC, нужно найти длины всех его сторон (AB, BC, AC) и сложить их.

Длину стороны AB мы уже нашли в пункте б: $$|AB| = 2\sqrt{5}$$.

Найдем длину стороны BC:

$$|BC| = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2}$$$$|BC| = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (7 - (-6))^2}$$$$|BC| = \sqrt{2^2 + 13^2}$$$$|BC| = \sqrt{4 + 169}$$$$|BC| = \sqrt{173}$$

Найдем длину стороны AC:

$$|AC| = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}$$$$|AC| = \sqrt{(0 - 2)^2 + (7 - (-4))^2}$$$$|AC| = \sqrt{(-2)^2 + 11^2}$$$$|AC| = \sqrt{4 + 121}$$$$|AC| = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$$

Периметр треугольника ABC:

$$P = |AB| + |BC| + |AC|$$$$P = 2\sqrt{5} + \sqrt{173} + 5\sqrt{5}$$$$P = 7\sqrt{5} + \sqrt{173}$$

Ответ: Периметр треугольника ABC равен $$7\sqrt{5} + \sqrt{173}$$

д) длину медианы ВМ.

Точка M - середина отрезка AC. Ее координаты мы нашли в пункте в: M (1; 1,5).

Чтобы найти длину медианы BM, используем формулу расстояния между двумя точками:

$$|BM| = \sqrt{(x_M - x_B)^2 + (y_M - y_B)^2}$$$$|BM| = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (1,5 - (-6))^2}$$$$|BM| = \sqrt{3^2 + 7,5^2}$$$$|BM| = \sqrt{9 + 56,25}$$$$|BM| = \sqrt{65,25}$$

Ответ: Длина медианы BM равна $$\sqrt{65,25}$$