С3 Решите уравнение (x² – 3x)√(x² – 6x + 15) + 2x = 0.

Решение:

Данное уравнение: \( (x^2 – 3x)\sqrt{x^2 – 6x + 15} + 2x = 0 \)

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: \( x^2 - 6x + 15 \ge 0 \). Дискриминант этого квадратного трёхчлена равен \( D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 36 - 60 = -24 \). Так как \( D < 0 \) и коэффициент при \( x^2 \) положителен, то \( x^2 - 6x + 15 > 0 \) для всех \( x \). Следовательно, ОДЗ: \( x ∈ R \).
2. Рассмотрим два случая:
• Случай 1: \( x = 0 \). Подставим в уравнение: \( (0^2 - 3 \cdot 0)\sqrt{0^2 - 6 \cdot 0 + 15} + 2 \cdot 0 = 0 \cdot \sqrt{15} + 0 = 0 \). \( x = 0 \) является корнем.
• Случай 2: \( x \ne 0 \). Разделим уравнение на \( x \): \( \frac{x^2 - 3x}{x} \sqrt{x^2 - 6x + 15} + \frac{2x}{x} = 0 \).
• Упростим: \( (x - 3)\sqrt{x^2 - 6x + 15} + 2 = 0 \).
• Выразим корень: \( (x - 3)\sqrt{x^2 - 6x + 15} = -2 \).
• Возведём обе части в квадрат. Необходимо учесть, что \( x - 3 \) должно быть неположительным, так как корень неотрицателен, а правая часть отрицательна. \( x - 3 \le 0 ⇒ x ≤ 3 \).
• \( (x - 3)^2 (x^2 - 6x + 15) = (-2)^2 \).
• \( (x^2 - 6x + 9)(x^2 - 6x + 15) = 4 \).
• Введём замену переменной. Пусть \( y = x^2 - 6x \). Тогда уравнение примет вид: \( (y + 9)(y + 15) = 4 \).
• Раскроем скобки: \( y^2 + 15y + 9y + 135 = 4 \).
• \( y^2 + 24y + 131 = 0 \).
• Найдем дискриминант для \( y \): \( D_y = 24^2 - 4 \cdot 1 ∙ 131 = 576 - 524 = 52 \).
• \( y = \frac{-24 \pm \sqrt{52}}{2} = \frac{-24 \pm 2\sqrt{13}}{2} = -12 \pm \sqrt{13} \).
• Теперь вернёмся к \( x \).
• Подслучай 2.1: \( y = -12 + \sqrt{13} \). \( x^2 - 6x = -12 + \sqrt{13} \). \( x^2 - 6x + (12 - \sqrt{13}) = 0 \). \( D_x = (-6)^2 - 4 \cdot 1 ∙ (12 - \sqrt{13}) = 36 - 48 + 4\sqrt{13} = -12 + 4\sqrt{13} \). Так как \( 4\sqrt{13} = \sqrt{16 ∙ 13} = \sqrt{208} \) и \( 12 = \sqrt{144} \), то \( -12 + 4\sqrt{13} > 0 \). \( x = \frac{6 \pm \sqrt{-12 + 4\sqrt{13}}}{2} = 3 \pm \sqrt{-3 + \sqrt{13}} \).
• Проверим условие \( x ≤ 3 \). \( \sqrt{-3 + \sqrt{13}} \) больше 0. \( 3 + \sqrt{-3 + \sqrt{13}} > 3 \), поэтому этот корень не подходит. \( 3 - \sqrt{-3 + \sqrt{13}} \). Так как \( \sqrt{13} \approx 3.6 \), то \( -3 + \sqrt{13} \approx 0.6 \), \( \sqrt{0.6} \approx 0.77 \). \( 3 - 0.77 > 0 \). Этот корень подходит.
• Подслучай 2.2: \( y = -12 - \sqrt{13} \). \( x^2 - 6x = -12 - \sqrt{13} \). \( x^2 - 6x + (12 + \sqrt{13}) = 0 \). \( D_x = (-6)^2 - 4 \cdot 1 ∙ (12 + \sqrt{13}) = 36 - 48 - 4\sqrt{13} = -12 - 4\sqrt{13} \). Дискриминант отрицателен, действительных корней нет.

Ответ: \( x = 0 \), \( x = 3 - \sqrt{-3 + \sqrt{13}} \).