381. С какой начальной скоростью $$v_0$$ надо бросить вниз мяч с высоты $$h$$, чтобы он подпрыгнул на высоту $$2h$$? Считать удар о землю абсолютно упругим.

• Определим потенциальную энергию мяча в начальной точке (высота $$h$$) и конечной точке (высота $$2h$$): $$E_{п1} = mgh$$ $$E_{п2} = mg(2h) = 2mgh$$
• При абсолютно упругом ударе о землю кинетическая энергия мяча непосредственно перед ударом равна кинетической энергии сразу после удара. Это означает, что полная механическая энергия мяча после удара должна быть равна его полной механической энергии непосредственно перед ударом.
• Пусть $$v_0$$ - начальная скорость, с которой мяч бросили вниз с высоты $$h$$. Тогда полная механическая энергия мяча в начальный момент времени равна сумме его потенциальной и кинетической энергии: $$E_1 = E_{п1} + E_{к1} = mgh + \frac{1}{2}mv_0^2$$
• Когда мяч достигнет земли, его потенциальная энергия будет равна нулю, а кинетическая энергия будет максимальной. Непосредственно перед ударом о землю полная механическая энергия мяча будет равна только его кинетической энергии: $$E_{к(уд)} = \frac{1}{2}mv_{уд}^2$$ Где $$v_{уд}$$ - скорость мяча перед ударом о землю.
• После упругого удара о землю мяч начнет подниматься вверх. На высоте $$2h$$ его кинетическая энергия станет равной нулю, и вся механическая энергия превратится в потенциальную энергию: $$E_2 = E_{п2} = 2mgh$$
• Так как удар абсолютно упругий, то энергия сохраняется, и мы можем приравнять полную механическую энергию в начальный момент времени и полную механическую энергию на высоте $$2h$$: $$mgh + \frac{1}{2}mv_0^2 = 2mgh$$
• Решим уравнение относительно $$v_0$$: $$\frac{1}{2}mv_0^2 = 2mgh - mgh$$ $$\frac{1}{2}mv_0^2 = mgh$$ $$v_0^2 = 2gh$$ $$v_0 = \sqrt{2gh}$$

Следовательно, начальная скорость, с которой нужно бросить мяч вниз, чтобы он подпрыгнул на высоту $$2h$$, равна $$v_0 = \sqrt{2gh}$$.

Ответ: $$\sqrt{2gh}$$