Решите задачу. MN - средняя линия треугольника ABC. Точки M и N лежат на сторонах AB и BC соответственно. Выразите векторы CB и AN через векторы $$ \overrightarrow{m} = \overrightarrow{MB} $$ и $$ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{MN} $$.

Рассмотрим треугольник ABC, где M и N - середины сторон AB и BC соответственно, так как MN - средняя линия.

1. Выразим вектор $$\overrightarrow{CB}$$ через векторы $$\overrightarrow{m}$$ и $$\overrightarrow{n}$$.

   Так как N - середина BC, то $$\overrightarrow{CN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{CB}$$.

   Вектор $$\overrightarrow{CB} = 2 \overrightarrow{CN}$$.

   Чтобы выразить $$\overrightarrow{CN}$$ через $$\overrightarrow{m}$$ и $$\overrightarrow{n}$$, рассмотрим $$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{n}$$.

   Используем правило треугольника: $$\overrightarrow{CN} = -\overrightarrow{NC}$$. Так как $$\overrightarrow{NC} = -\overrightarrow{CN}$$, тогда $$\overrightarrow{CN} = -\overrightarrow{MN} - \overrightarrow{MB} = -\overrightarrow{n} - \overrightarrow{m}$$.

   Следовательно, $$\overrightarrow{CB} = 2(-\overrightarrow{m} - \overrightarrow{n}) = -2\overrightarrow{m} - 2\overrightarrow{n}$$.

   Ответ: $$\overrightarrow{CB} = -2\overrightarrow{m} - 2\overrightarrow{n}$$

2. Выразим вектор $$\overrightarrow{AN}$$ через векторы $$\overrightarrow{m}$$ и $$\overrightarrow{n}$$.

   $$\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN}$$. Так как M - середина AB, $$\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{m}$$.

   $$\overrightarrow{BN} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{NC} = -\overrightarrow{CB} - \overrightarrow{NC} = -(\overrightarrow{m} + \overrightarrow{n}) = 2\overrightarrow{n}$$.

   Тогда $$\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN} = - \overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{NC} = -\overrightarrow{MN} = 2\overrightarrow{m} + \overrightarrow{n}$$.

   Ответ: $$\overrightarrow{AN} = -\overrightarrow{m} + \overrightarrow{n}$$