Решите задачу: Бассейн наполняется двумя трубами за 3 часа. Первая труба, действуя одна, может заполнить бассейн на 8 ч. медленнее, чем вторая труба. За сколько часов наполнит бассейн од

Решение:

Пусть \( x \) часов — время, за которое вторая труба наполняет бассейн.

Тогда \( x + 8 \) часов — время, за которое первая труба наполняет бассейн.

Производительность второй трубы: \( \frac{1}{x} \) часть бассейна в час.

Производительность первой трубы: \( \frac{1}{x+8} \) часть бассейна в час.

За 3 часа обе трубы вместе наполняют бассейн. Их совместная производительность равна сумме их индивидуальных производительностей:

\( 3 · \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+8} \right) = 1 \)

Разделим обе части на 3:

\( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+8} = \frac{1}{3} \)

Приведем к общему знаменателю \( 3x(x+8) \):

\( 3(x+8) + 3x = x(x+8) \)

\( 3x + 24 + 3x = x^2 + 8x \)

\( 6x + 24 = x^2 + 8x \)

Перенесем все члены в одну сторону:

\( x^2 + 8x - 6x - 24 = 0 \)

\( x^2 + 2x - 24 = 0 \)

Найдем дискриминант:

\( D = 2^2 - 4 · 1 · (-24) = 4 + 96 = 100 \)

\( \sqrt{D} = 10 \)

Найдем корни:

\( x_1 = \frac{-2 + 10}{2} = 4 \)

\( x_2 = \frac{-2 - 10}{2} = -6 \)

Так как время не может быть отрицательным, \( x = 4 \) часа (время наполнения бассейна второй трубой).

Время наполнения бассейна первой трубой: \( x + 8 = 4 + 8 = 12 \) часов.

Проверим: \( 3 · (1/4 + 1/12) = 3 · (3/12 + 1/12) = 3 · (4/12) = 3 · (1/3) = 1 \). Условие выполняется.

Ответ: Первая труба наполнит бассейн за 12 часов.