Решите задачи из Вариант 4.

1. Сравните числа:

а) $$rac{7}{15}$$ и $$rac{9}{20}$$

Чтобы сравнить дроби, приведём их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 15 и 20 – это 60.

$$rac{7}{15} = rac{7 cdot 4}{15 cdot 4} = rac{28}{60}$$, $$rac{9}{20} = rac{9 cdot 3}{20 cdot 3} = rac{27}{60}$$

Так как $$rac{28}{60} > rac{27}{60}$$, то $$rac{7}{15} > rac{9}{20}$$.

б) $$rac{9}{14}$$ и $$rac{9}{13}$$

У этих дробей одинаковые числители, поэтому больше та дробь, у которой знаменатель меньше. Так как 14 > 13, то $$rac{9}{14} < rac{9}{13}$$.

в) $$rac{52}{51}$$ и 0,87

Переведём дробь $$rac{52}{51}$$ в десятичную дробь: $$rac{52}{51} approx 1,0196$$.

Сравниваем 1,0196 и 0,87. Очевидно, что 1,0196 > 0,87, значит $$rac{52}{51} > 0,87$$.

2. Найдите значение выражения:

a) $$rac{11}{20} - rac{3}{16} + rac{3}{40}$$

Приведём дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 20, 16 и 40 – это 80.

$$rac{11}{20} = rac{11 cdot 4}{20 cdot 4} = rac{44}{80}$$, $$rac{3}{16} = rac{3 cdot 5}{16 cdot 5} = rac{15}{80}$$, $$rac{3}{40} = rac{3 cdot 2}{40 cdot 2} = rac{6}{80}$$

$$rac{44}{80} - rac{15}{80} + rac{6}{80} = rac{44 - 15 + 6}{80} = rac{35}{80} = rac{7}{16}$$

б) $$6 - 2rac{10}{13}$$

$$6 - 2rac{10}{13} = 6 - rac{2 cdot 13 + 10}{13} = 6 - rac{26 + 10}{13} = 6 - rac{36}{13} = rac{6 cdot 13}{13} - rac{36}{13} = rac{78 - 36}{13} = rac{42}{13} = 3rac{3}{13}$$

в) $$7rac{3}{8} + 1rac{7}{10}$$

$$7rac{3}{8} + 1rac{7}{10} = rac{7 cdot 8 + 3}{8} + rac{1 cdot 10 + 7}{10} = rac{56 + 3}{8} + rac{10 + 7}{10} = rac{59}{8} + rac{17}{10} = rac{59 cdot 5}{8 cdot 5} + rac{17 cdot 4}{10 cdot 4} = rac{295}{40} + rac{68}{40} = rac{295 + 68}{40} = rac{363}{40} = 9rac{3}{40}$$

г) $$4rac{11}{12} + 5rac{13}{18}$$

$$4rac{11}{12} + 5rac{13}{18} = rac{4 cdot 12 + 11}{12} + rac{5 cdot 18 + 13}{18} = rac{48 + 11}{12} + rac{90 + 13}{18} = rac{59}{12} + rac{103}{18} = rac{59 cdot 3}{12 cdot 3} + rac{103 cdot 2}{18 cdot 2} = rac{177}{36} + rac{206}{36} = rac{177 + 206}{36} = rac{383}{36} = 10rac{23}{36}$$

д) $$9rac{2}{9} - 6rac{5}{6}$$

$$9rac{2}{9} - 6rac{5}{6} = rac{9 cdot 9 + 2}{9} - rac{6 cdot 6 + 5}{6} = rac{81 + 2}{9} - rac{36 + 5}{6} = rac{83}{9} - rac{41}{6} = rac{83 cdot 2}{9 cdot 2} - rac{41 cdot 3}{6 cdot 3} = rac{166}{18} - rac{123}{18} = rac{166 - 123}{18} = rac{43}{18} = 2rac{7}{18}$$

3. В один вагон планировали загрузить $$5rac{7}{16}$$ т угля, а в другой – $$3rac{5}{12}$$ т. Однако загрузили на $$rac{11}{6}$$ т угля меньше, чем предполагали. Сколько всего тонн угля загрузили в два вагона?

Всего планировали загрузить: $$5rac{7}{16} + 3rac{5}{12} = rac{5 cdot 16 + 7}{16} + rac{3 cdot 12 + 5}{12} = rac{80 + 7}{16} + rac{36 + 5}{12} = rac{87}{16} + rac{41}{12} = rac{87 cdot 3}{16 cdot 3} + rac{41 cdot 4}{12 cdot 4} = rac{261}{48} + rac{164}{48} = rac{261 + 164}{48} = rac{425}{48}$$ тонн.

Загрузили меньше на $$rac{11}{6} = rac{11 cdot 8}{6 cdot 8} = rac{88}{48}$$ тонн.

Всего загрузили: $$rac{425}{48} - rac{88}{48} = rac{425 - 88}{48} = rac{337}{48} = 7rac{1}{48}$$ тонн.

4. Решите уравнение:

a) $$b + 5rac{9}{10} = 7rac{5}{12}$$

$$b = 7rac{5}{12} - 5rac{9}{10} = rac{7 cdot 12 + 5}{12} - rac{5 cdot 10 + 9}{10} = rac{84 + 5}{12} - rac{50 + 9}{10} = rac{89}{12} - rac{59}{10} = rac{89 cdot 5}{12 cdot 5} - rac{59 cdot 6}{10 cdot 6} = rac{445}{60} - rac{354}{60} = rac{445 - 354}{60} = rac{91}{60} = 1rac{31}{60}$$

б) $$3,85 cdot (d - 4,02) = 8,47$$

$$d - 4,02 = rac{8,47}{3,85}$$

$$d - 4,02 = 2,2$$

$$d = 2,2 + 4,02 = 6,22$$

5. Найдите четыре дроби, каждая из которых больше $$rac{5}{13}$$ и меньше $$rac{7}{13}$$.

Чтобы найти четыре дроби между $$rac{5}{13}$$ и $$rac{7}{13}$$, умножим числитель и знаменатель каждой дроби на 5:

$$rac{5}{13} = rac{5 cdot 5}{13 cdot 5} = rac{25}{65}$$

$$rac{7}{13} = rac{7 cdot 5}{13 cdot 5} = rac{35}{65}$$

Теперь можно легко найти четыре дроби между $$rac{25}{65}$$ и $$rac{35}{65}$$: $$rac{26}{65}, rac{27}{65}, rac{28}{65}, rac{29}{65}$$.