Решите в целых числах уравнение $$m^3 + n^3 + 99mn = 33^3$$. Чему может равняться сумма $$m + n$$? Введите все возможные ответы.

Преобразуем уравнение:

$$m^3 + n^3 + 99mn = 33^3$$

$$m^3 + n^3 - 33^3 + 99mn = 0$$

$$m^3 + n^3 + (-33)^3 - 3 cdot m cdot n cdot (-33) = 0$$

Вспомним формулу:

$$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac)$$

В нашем случае, $$a = m$$, $$b = n$$, $$c = -33$$. Тогда уравнение принимает вид:

$$(m + n - 33)(m^2 + n^2 + 33^2 - mn + 33n + 33m) = 0$$

Это уравнение выполняется, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим оба случая:

1. Если $$m + n - 33 = 0$$, то $$m + n = 33$$.
2. Если $$m^2 + n^2 + 33^2 - mn + 33n + 33m = 0$$:

   Умножим обе части уравнения на 2:

   $$2m^2 + 2n^2 + 2 cdot 33^2 - 2mn + 2 cdot 33n + 2 cdot 33m = 0$$

   Перегруппируем слагаемые:

   $$(m^2 - 2mn + n^2) + (m^2 + 2 cdot 33m + 33^2) + (n^2 + 2 cdot 33n + 33^2) = 0$$

   Преобразуем в полные квадраты:

   $$(m - n)^2 + (m + 33)^2 + (n + 33)^2 = 0$$

   Сумма квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю:

   $$m - n = 0$$
   $$m + 33 = 0$$
   $$n + 33 = 0$$

   Из этого следует, что $$m = n = -33$$. Тогда $$m + n = -33 + (-33) = -66$$.

Ответ: Сумма $$m + n$$ может равняться 33 или -66.