Решите уравнения: N2) $$\log_{4}^{2}x - 0,5\log_{4}x - 1,5 = 0$$ N3) $$\lg^{2}x - 3\lg x - 4 = 0$$

Оба уравнения являются логарифмическими. Решим их. N2) $$\log_{4}^{2}x - 0,5\log_{4}x - 1,5 = 0$$ Введем замену: $$y = \log_{4}x$$. Тогда уравнение примет вид: $$y^2 - 0,5y - 1,5 = 0$$ Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби: $$2y^2 - y - 3 = 0$$ Решим квадратное уравнение относительно y. Дискриминант: $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$$ Корни: $$y_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = 1,5$$ $$y_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$ Вернемся к замене: $$y = \log_{4}x$$. 1) $$\log_{4}x = 1,5$$ $$x = 4^{1,5} = 4^{\frac{3}{2}} = (4^{\frac{1}{2}})^3 = 2^3 = 8$$ 2) $$\log_{4}x = -1$$ $$x = 4^{-1} = \frac{1}{4} = 0,25$$ Ответ: $$x_1 = 8$$, $$x_2 = 0,25$$ N3) $$\lg^{2}x - 3\lg x - 4 = 0$$ Введем замену: $$y = \lg x$$. Тогда уравнение примет вид: $$y^2 - 3y - 4 = 0$$ Решим квадратное уравнение относительно y. Дискриминант: $$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$ Корни: $$y_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$$ $$y_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ Вернемся к замене: $$y = \lg x$$. 1) $$\lg x = 4$$ $$x = 10^4 = 10000$$ 2) $$\lg x = -1$$ $$x = 10^{-1} = \frac{1}{10} = 0,1$$ Ответ: $$x_1 = 10000$$, $$x_2 = 0,1$$