Решение уравнений

Для решения уравнений вида $$x^6 = a^3$$, преобразуем их, извлекая кубический корень из обеих частей. Поскольку $$x^6 = (x^2)^3$$, уравнение примет вид $$(x^2)^3 = a^3$$. Тогда $$x^2 = a$$ или $$x^2 = -a$$. В зависимости от знака $$a$$ ищем решения.

a) $$x^6 = (12x - 20)^3$$

Извлекая кубический корень из обеих частей, получим:

$$x^2 = 12x - 20$$

Перенесем все в одну сторону:

$$x^2 - 12x + 20 = 0$$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

$$D = (-12)^2 - 4 cdot 1 cdot 20 = 144 - 80 = 64$$

Корни:

$$x_1 = rac{12 + sqrt{64}}{2} = rac{12 + 8}{2} = rac{20}{2} = 10$$ $$x_2 = rac{12 - sqrt{64}}{2} = rac{12 - 8}{2} = rac{4}{2} = 2$$

Ответ: $$x_1 = 10, x_2 = 2$$

б) $$x^6 = -(11x + 24)^3$$

Извлекая кубический корень из обеих частей, получим:

$$x^2 = -(11x + 24)$$

Перенесем все в одну сторону:

$$x^2 + 11x + 24 = 0$$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

$$D = 11^2 - 4 cdot 1 cdot 24 = 121 - 96 = 25$$

Корни:

$$x_1 = rac{-11 + sqrt{25}}{2} = rac{-11 + 5}{2} = rac{-6}{2} = -3$$ $$x_2 = rac{-11 - sqrt{25}}{2} = rac{-11 - 5}{2} = rac{-16}{2} = -8$$

Ответ: $$x_1 = -3, x_2 = -8$$

в) $$x^6 = -(7x - 30)^3$$

Извлекая кубический корень из обеих частей, получим:

$$x^2 = -(7x - 30)$$

Перенесем все в одну сторону:

$$x^2 + 7x - 30 = 0$$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

$$D = 7^2 - 4 cdot 1 cdot (-30) = 49 + 120 = 169$$

Корни:

$$x_1 = rac{-7 + sqrt{169}}{2} = rac{-7 + 13}{2} = rac{6}{2} = 3$$ $$x_2 = rac{-7 - sqrt{169}}{2} = rac{-7 - 13}{2} = rac{-20}{2} = -10$$

Ответ: $$x_1 = 3, x_2 = -10$$

г) $$x^6 = (2x + 1)^3$$

Извлекая кубический корень из обеих частей, получим:

$$x^2 = 2x + 1$$

Перенесем все в одну сторону:

$$x^2 - 2x - 1 = 0$$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

$$D = (-2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-1) = 4 + 4 = 8$$

Корни:

$$x_1 = rac{2 + sqrt{8}}{2} = rac{2 + 2sqrt{2}}{2} = 1 + sqrt{2}$$ $$x_2 = rac{2 - sqrt{8}}{2} = rac{2 - 2sqrt{2}}{2} = 1 - sqrt{2}$$

Ответ: $$x_1 = 1 + sqrt{2}, x_2 = 1 - sqrt{2}$$