1) Решите уравнения: a) 2cos²x - 5cosx + 2 = 0 ; б) √3 cosx + sin 2x = 0; в) 4 sin²x - 4 cosx-1=0.

a) 2cos²x - 5cosx + 2 = 0

• Введём замену t = cosx, тогда уравнение примет вид 2t² - 5t + 2 = 0
• Решаем квадратное уравнение:

D = (-5)² - 4 \(\cdot\) 2 \(\cdot\) 2 = 25 - 16 = 9

t₁ = \(\frac{5 + 3}{4}\) = 2

t₂ = \(\frac{5 - 3}{4}\) = \(\frac{1}{2}\)

• Возвращаемся к замене:

cosx = 2 (не имеет решений, так как -1 ≤ cosx ≤ 1)

cosx = \(\frac{1}{2}\)

x = ±arccos\(\frac{1}{2}\) + 2\(\pi\)n, n ∈ Z

x = ±\(\frac{\pi}{3}\) + 2\(\pi\)n, n ∈ Z

б) √3 cosx + sin 2x = 0

• Используем формулу синуса двойного угла: sin 2x = 2sinxcosx
• Получаем уравнение: √3 cosx + 2sinxcosx = 0
• Выносим cosx за скобки: cosx(√3 + 2sinx) = 0
• Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

cosx = 0

x = \(\frac{\pi}{2}\) + \(\pi\)n, n ∈ Z

√3 + 2sinx = 0

sinx = -\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

x = arcsin(-\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)) + 2\(\pi\)n, n ∈ Z или x = \(\pi\) - arcsin(-\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)) + 2\(\pi\)n, n ∈ Z

x = -\(\frac{\pi}{3}\) + 2\(\pi\)n, n ∈ Z или x = \(\pi\) + \(\frac{\pi}{3}\) + 2\(\pi\)n, n ∈ Z

x = -\(\frac{\pi}{3}\) + 2\(\pi\)n, n ∈ Z или x = \(\frac{4\pi}{3}\) + 2\(\pi\)n, n ∈ Z

x = \(\frac{5\pi}{6}\) + 2\(\pi\)n, n ∈ Z

в) 4 sin²x - 4 cosx - 1 = 0

• Используем основное тригонометрическое тождество: sin²x + cos²x = 1, sin²x = 1 - cos²x
• Получаем уравнение: 4(1 - cos²x) - 4cosx - 1 = 0
• 4 - 4cos²x - 4cosx - 1 = 0
• -4cos²x - 4cosx + 3 = 0
• 4cos²x + 4cosx - 3 = 0
• Введём замену t = cosx, тогда уравнение примет вид 4t² + 4t - 3 = 0
• Решаем квадратное уравнение:

D = 4² - 4 \(\cdot\) 4 \(\cdot\) (-3) = 16 + 48 = 64

t₁ = \(\frac{-4 + 8}{8}\) = \(\frac{1}{2}\)

t₂ = \(\frac{-4 - 8}{8}\) = -\(\frac{3}{2}\)

• Возвращаемся к замене:

cosx = \(\frac{1}{2}\)

x = ±arccos\(\frac{1}{2}\) + 2\(\pi\)n, n ∈ Z

x = ±\(\frac{\pi}{3}\) + 2\(\pi\)n, n ∈ Z

cosx = -\(\frac{3}{2}\) (не имеет решений, так как -1 ≤ cosx ≤ 1)