Решите уравнения: 1. 2 sin x - 1 = 0. 2. cos(2x + pi/6) + 1 = 0. 3. 6sin^2 x - 5 cos x + 5 = 0. 4. 3sin^2 x - 4 sin x cos x + cos^2 x = 0.

Решение уравнений:

1. 1. \(2 \sin x - 1 = 0\)

   \(2 \sin x = 1\)

   \(\sin x = \frac{1}{2}\)

   \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n\) или \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).

2. 2. \(\cos \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) + 1 = 0\)

   \(\cos \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right) = -1\)

   \(2x + \frac{\pi}{6} = \pi + 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).

   \(2x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n\)

   \(2x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n\)

   \(x = \frac{5\pi}{12} + \pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).

3. 3. \(6\sin^2 x - 5 \cos x + 5 = 0\)

   Заменим \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\):

   \(6(1 - \cos^2 x) - 5 \cos x + 5 = 0\)

   \(6 - 6\cos^2 x - 5 \cos x + 5 = 0\)

   \(-6\cos^2 x - 5 \cos x + 11 = 0\)

   \(6\cos^2 x + 5 \cos x - 11 = 0\)

   Пусть \(y = \cos x\), тогда \(6y^2 + 5y - 11 = 0\).

   Дискриминант \(D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-11) = 25 + 264 = 289\).

   \(y_1 = \frac{-5 + \sqrt{289}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 + 17}{12} = \frac{12}{12} = 1\).

   \(y_2 = \frac{-5 - 17}{12} = \frac{-22}{12} = -\frac{11}{6}\).

   Так как \(-1 \le \cos x \le 1\), то \(y_2 = -\frac{11}{6}\) не подходит.

   \(\cos x = 1\)

   \(x = 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).

4. 4. \(3\sin^2 x - 4 \sin x \cos x + \cos^2 x = 0\)

   Это однородное уравнение второй степени. Разделим обе части на \(\cos^2 x\) (при \(\cos x
   eq 0\)).

   \(3\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 4\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0\)

   \(3\tan^2 x - 4\tan x + 1 = 0\)

   Пусть \(t = \tan x\), тогда \(3t^2 - 4t + 1 = 0\).

   \((3t - 1)(t - 1) = 0\).

   \(t = 1\) или \(t = \frac{1}{3}\).

   \(\tan x = 1\) \(\implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).

   \(\tan x = \frac{1}{3}\) \(\implies x = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).

   Проверим случай \(\cos x = 0\). Если \(\cos x = 0\), то \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\). Тогда \(\sin^2 x = 1\). Подставим в исходное уравнение:

   \(3(1) - 4\sin x (0) + 0 = 0\)

   \(3 = 0\), что неверно. Значит, \(\cos x
   eq 0\) и решения найдены верно.