6. Найдите корни уравнения \(\sqrt{3} \sin 2x = \cos 2x\), принадлежащие отрезку [-2\(\pi\); 2\(\pi\)].

Решение уравнения:

\(\sqrt{3} \sin 2x = \cos 2x\)

Перенесем \(\cos 2x\) в левую часть:

\(\sqrt{3} \sin 2x - \cos 2x = 0\)

Если \(\cos 2x = 0\), то \(2x = \frac{\pi}{2} + \pi n\), \(x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}\). Тогда \(\sin 2x = \pm 1\). Подставляя в исходное уравнение, получим \(\sqrt{3}(\pm 1) = 0\), что неверно. Следовательно, \(\cos 2x
eq 0\).

Разделим обе части на \(\cos 2x\):

\(\sqrt{3} \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = 1\)

\(\sqrt{3} \tan 2x = 1\)

\(\tan 2x = \frac{1}{\sqrt{3}}\)

\(2x = \frac{\pi}{6} + \pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).

\(x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}\), где \(n \in \mathbb{Z}\).

Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку \([-2\pi; 2\pi]\).

\(-2\pi \le \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2} \le 2\pi\)

Разделим на \(\pi\):

\(-2 \le \frac{1}{12} + \frac{n}{2} \le 2\)

Вычтем \(\frac{1}{12}\):

\(-2 - \frac{1}{12} \le \frac{n}{2} \le 2 - \frac{1}{12}\)

\(-\frac{24}{12} - \frac{1}{12} \le \frac{n}{2} \le \frac{24}{12} - \frac{1}{12}\)

\(-\frac{25}{12} \le \frac{n}{2} \le \frac{23}{12}\)

Умножим на 2:

\(-\frac{25}{6} \le n \le \frac{23}{6}\)

\(-4.16... \le n \le 3.83...\)

Целые значения \(n\) в этом интервале: \(-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\).

Подставим эти значения \(n\) в формулу \(x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}\):

• \(n = -4\): \(x = \frac{\pi}{12} + \frac{-4\pi}{2} = \frac{\pi}{12} - 2\pi = \frac{\pi - 24\pi}{12} = -\frac{23\pi}{12}\)
• \(n = -3\): \(x = \frac{\pi}{12} + \frac{-3\pi}{2} = \frac{\pi - 18\pi}{12} = -\frac{17\pi}{12}\)
• \(n = -2\): \(x = \frac{\pi}{12} + \frac{-2\pi}{2} = \frac{\pi}{12} - \pi = \frac{\pi - 12\pi}{12} = -\frac{11\pi}{12}\)
• \(n = -1\): \(x = \frac{\pi}{12} + \frac{-1\pi}{2} = \frac{\pi - 6\pi}{12} = -\frac{5\pi}{12}\)
• \(n = 0\): \(x = \frac{\pi}{12} + 0 = \frac{\pi}{12}\)
• \(n = 1\): \(x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi + 6\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}\)
• \(n = 2\): \(x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{2} = \frac{\pi}{12} + \pi = \frac{\pi + 12\pi}{12} = \frac{13\pi}{12}\)
• \(n = 3\): \(x = \frac{\pi}{12} + \frac{3\pi}{2} = \frac{\pi + 18\pi}{12} = \frac{19\pi}{12}\)

Ответ: \(x = \pm \frac{23\pi}{12}, \pm \frac{17\pi}{12}, \pm \frac{11\pi}{12}, \pm \frac{5\pi}{12}, \frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}, \frac{13\pi}{12}, \frac{19\pi}{12}\)