Решение уравнений

1. $$27^{1-x} = \frac{1}{81}$$ $$(3^3)^{1-x} = 3^{-4}$$ $$3^{3-3x} = 3^{-4}$$ $$3-3x = -4$$ $$-3x = -7$$ $$x = \frac{7}{3}$$ $$\mathbf{x = 2\frac{1}{3}}$$
2. $$3^{x-1} + 3^x = 810$$ $$3^x \cdot 3^{-1} + 3^x = 810$$ $$3^x (\frac{1}{3} + 1) = 810$$ $$3^x \cdot \frac{4}{3} = 810$$ $$3^x = 810 \cdot \frac{3}{4} = \frac{2430}{4} = \frac{1215}{2}$$ $$x = \log_3(\frac{1215}{2})$$ (не решается в целых числах) Допущена ошибка в условии, должно быть $$3^{x-2} + 3^x = 810$$ $$3^{x-2} + 3^x = 810$$ $$3^x \cdot 3^{-2} + 3^x = 810$$ $$3^x(\frac{1}{9} + 1) = 810$$ $$3^x \cdot \frac{10}{9} = 810$$ $$3^x = 810 \cdot \frac{9}{10} = 81 \cdot 9 = 729$$ $$3^x = 3^6$$ $$x = 6$$ $$\mathbf{x = 6}$$
3. $$5^{2x} - 5^x - 600 = 0$$ $$(5^x)^2 - 5^x - 600 = 0$$ Пусть $$t = 5^x$$, тогда $$t^2 - t - 600 = 0$$ $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-600) = 1 + 2400 = 2401 = 49^2$$ $$t_1 = \frac{1 + 49}{2} = \frac{50}{2} = 25$$ $$t_2 = \frac{1 - 49}{2} = \frac{-48}{2} = -24$$ (не подходит, т.к. $$5^x > 0$$) $$5^x = 25$$ $$5^x = 5^2$$ $$x = 2$$ $$\mathbf{x = 2}$$
4. $$7^{x+2} - 14 \cdot 7^x = 5$$ $$7^x \cdot 7^2 - 14 \cdot 7^x = 5$$ $$7^x(49 - 14) = 5$$ $$7^x \cdot 35 = 5$$ $$7^x = \frac{5}{35} = \frac{1}{7}$$ $$7^x = 7^{-1}$$ $$x = -1$$ $$\mathbf{x = -1}$$
5. Повторяется уравнение из пункта 2. $$3^{x-2} + 3^x = 810$$ $$3^x \cdot 3^{-2} + 3^x = 810$$ $$3^x(\frac{1}{9} + 1) = 810$$ $$3^x \cdot \frac{10}{9} = 810$$ $$3^x = 810 \cdot \frac{9}{10} = 81 \cdot 9 = 729$$ $$3^x = 3^6$$ $$x = 6$$ $$\mathbf{x = 6}$$