4. Решите уравнение: 5y-6 3-3у a) 4y²-9-3+2y2y-3 6) (x² - x + 1) (x² – x – 2) = 378.

Ответ: a) y = -1; б) x = 5, x = -4

a) \(\frac{5y-6}{4y^2-9} - \frac{3-3y}{3+2y} = \frac{3}{2y-3}\)

Разложим знаменатели на множители:

\(\frac{5y-6}{(2y-3)(2y+3)} + \frac{3y-3}{2y+3} = \frac{3}{2y-3}\)

Приведем к общему знаменателю:

\(\frac{5y-6 + (3y-3)(2y-3)}{(2y-3)(2y+3)} = \frac{3(2y+3)}{(2y-3)(2y+3)}\)

\(5y - 6 + 6y^2 - 9y - 6y + 9 = 6y + 9\)

\(6y^2 - 10y + 3 - 6y - 9 = 0\)

\(6y^2 - 16y - 6 = 0\)

\(3y^2 - 8y - 3 = 0\)

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

\(D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100\)

\(y_1 = \frac{8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 10}{6} = \frac{18}{6} = 3\)

\(y_2 = \frac{8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 10}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}\)

Проверка:

При \(y=3\) знаменатели обращаются в ноль, значит этот корень не подходит.

При \(y = -\frac{1}{3}\):

Левая часть: \(\frac{5(-\frac{1}{3})-6}{4(-\frac{1}{3})^2-9} - \frac{3-3(-\frac{1}{3})}{3+2(-\frac{1}{3})} = \frac{-\frac{5}{3}-6}{\frac{4}{9}-9} - \frac{3+1}{3-\frac{2}{3}} = \frac{-\frac{23}{3}}{-\frac{77}{9}} - \frac{4}{\frac{7}{3}} = \frac{23 \cdot 9}{3 \cdot 77} - \frac{4 \cdot 3}{7} = \frac{23 \cdot 3}{77} - \frac{12}{7} = \frac{69}{77} - \frac{132}{77} = -\frac{63}{77} = -\frac{9}{11}\)

Правая часть: \(\frac{3}{2(-\frac{1}{3})-3} = \frac{3}{-\frac{2}{3}-3} = \frac{3}{-\frac{11}{3}} = -\frac{9}{11}\)

б) \((x^2 - x + 1)(x^2 - x - 2) = 378\)

Пусть \(t = x^2 - x\), тогда уравнение примет вид:

\((t + 1)(t - 2) = 378\)

\(t^2 - 2t + t - 2 = 378\)

\(t^2 - t - 380 = 0\)

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

\(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-380) = 1 + 1520 = 1521\)

\(t_1 = \frac{1 + \sqrt{1521}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 39}{2} = \frac{40}{2} = 20\)

\(t_2 = \frac{1 - \sqrt{1521}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 39}{2} = \frac{-38}{2} = -19\)

Теперь возвращаемся к замене:

1) \(x^2 - x = 20\)

\(x^2 - x - 20 = 0\)

\(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81\)

\(x_1 = \frac{1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5\)

\(x_2 = \frac{1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 9}{2} = \frac{-8}{2} = -4\)

2) \(x^2 - x = -19\)

\(x^2 - x + 19 = 0\)

\(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 19 = 1 - 76 = -75\)

Дискриминант отрицательный, значит, корней нет.

Ответ: a) y = -1/3; б) x = 5, x = -4