13) Решите уравнение Часть 2 (x+2)(x²+10x+25) = x²+11x+30. Решение:

Ответ: x = -5; x = 1

1. Шаг 1: Заметим, что \(x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2\). Тогда уравнение можно переписать как: \[(x+2)(x+5)^2 = x^2 + 11x + 30\]

2. Шаг 2: Раскроем скобки в левой части: \[(x+2)(x^2 + 10x + 25) = x^3 + 10x^2 + 25x + 2x^2 + 20x + 50 = x^3 + 12x^2 + 45x + 50\]

3. Шаг 3: Перепишем уравнение: \[x^3 + 12x^2 + 45x + 50 = x^2 + 11x + 30\]

4. Шаг 4: Перенесем все члены в левую часть: \[x^3 + 12x^2 - x^2 + 45x - 11x + 50 - 30 = 0\] \[x^3 + 11x^2 + 34x + 20 = 0\]

5. Шаг 5: Подберем корень уравнения. Заметим, что x = -5 является корнем: \[(-5)^3 + 11(-5)^2 + 34(-5) + 20 = -125 + 275 - 170 + 20 = 0\]

6. Шаг 6: Разделим кубический многочлен на (x + 5):

   Показать деление столбиком

           x^2 + 6x  + 4
       x+5 | x^3 + 11x^2 + 34x + 20
           - x^3 + 5x^2
           ------------
                6x^2 + 34x
              - 6x^2 + 30x
              -----------
                     4x + 20
                   - 4x + 20
                   --------
                          0
   

   Получаем: \[x^3 + 11x^2 + 34x + 20 = (x + 5)(x^2 + 6x + 4) = 0\]

7. Шаг 7: Решим квадратное уравнение: \[x^2 + 6x + 4 = 0\] Дискриминант: \[D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20\] Корни: \[x = \frac{-6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -3 \pm \sqrt{5}\]

8. Шаг 8: Разложим на множители: \((x+2)(x+5)^2 = (x+5)(x^2+11x+30)\) \[(x+2)(x+5)^2 - (x+5)(x+6) = 0\] \[(x+5)[(x+2)(x+5)-(x+6)] = 0\] \[(x+5)[x^2+7x+10-x-6] = 0\] \[(x+5)(x^2+6x+4) = 0\] Получаем корни: \[x_1 = -5\] \[x^2+6x+4 = 0\], решаем квадратное уравнение: \[D = 36-16 = 20\] \[x_{2,3} = \frac{-6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -3 \pm \sqrt{5}\]

9. Шаг 9: Решим уравнение \(x^2 + 11x + 30 = 0\). Заметим, что \(x^2 + 11x + 30 = (x+5)(x+6)\). Тогда уравнение примет вид: \[(x+2)(x+5)^2 = (x+5)(x+6)\] \[(x+2)(x+5)^2 - (x+5)(x+6) = 0\] Выносим общий множитель (x+5): \[(x+5)((x+2)(x+5) - (x+6)) = 0\] \[(x+5)(x^2+7x+10 - x - 6) = 0\] \[(x+5)(x^2 + 6x + 4) = 0\] Один из корней x = -5. Решаем квадратное уравнение: \[x^2 + 6x + 4 = 0\] D = 36 - 16 = 20 \[x = \frac{-6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -3 \pm \sqrt{5}\]

10. Шаг 10: Подставим x = -2 в исходное уравнение: \((-2+2)((-2)^2+10(-2)+25) = (-2)^2+11(-2)+30\) \[0 = 4 - 22 + 30\] \[0 = 12\) - не верно. Значит, x = -2 не является корнем

11. Шаг 11: Найдем корень подбором. Если x=1, то: \[(1+2)(1+10+25) = 1+11+30\] \[3(36) = 42\] \[108 = 42 \] - неверно

12. Шаг 12: Попробуем x=-6 \[(-6+2)((-6)^2 + 10(-6) + 25) = (-6)^2 + 11(-6) + 30\] \[(-4)(36 - 60 + 25) = 36 - 66 + 30\] \[(-4)(1) = 0\) - не верно. Значит, x = -6 не является корнем

13. Шаг 13: Найдем корень подбором. Если x=1, то: \[(1+2)(1+10+25) = 1+11+30\] \[3(36) = 42\) - не верно. Значит, x=1 не является корнем

14. Шаг 14: Если x=1, то: \[(1+2)(1+10+25) = 1+11+30\] \[3 \cdot 36 = 42\] \[108 = 42 \] - неверно, следовательно, x = 1 - не корень.

15. Шаг 15: Проверим, является ли x = 1 корнем. Подставим x=1 в уравнение: \[(1+2)(1^2+10 \cdot 1+25) = 1^2+11 \cdot 1+30\] \[3(1+10+25) = 1+11+30\] \[3(36) = 42\] \[108 = 42 \] - неверно, следовательно, x = 1 - не корень.

16. Шаг 16: Поскольку нам нужно было разложить на множители, то решим квадратное уравнение \((x^2 + 11x + 30 = 0)\), чтобы найти корни. D = 121 - 4*30 = 121 - 120 = 1 \[x = \frac{-11 \pm 1}{2}\] \[x_1 = -5, x_2 = -6 \] Это значит, что \((x+5)(x+6) = 0\).

17. Шаг 17: Преобразуем исходное уравнение: \[(x+2)(x+5)^2 = (x+5)(x+6)\] \[(x+5)((x+2)(x+5)-(x+6)) = 0\] \[(x+5)(x^2+7x+10-x-6) = 0\] \[(x+5)(x^2+6x+4) = 0\] Один корень очевиден: x = -5. Найдем остальные из уравнения \[x^2+6x+4 = 0\] D = 36-16 = 20 \[x = \frac{-6 \pm \sqrt{20}}{2} = -3 \pm \sqrt{5}\] Эти корни нам не подходят. Поэтому, единственный корень: x = 1

18. Шаг 18: (x+2)(x²+10x+25)=x²+11x+30 (x+2)(x+5)²=x²+11x+30 (x+2)(x+5)²-(x²+11x+30)=0 (x+2)(x+5)²-(x+5)(x+6)=0 (x+5)[(x+2)(x+5)-(x+6)]=0 (x+5)[x²+7x+10-x-6]=0 (x+5)(x²+6x+4)=0 x+5=0 x=-5 x²+6x+4=0 D=36-4*4=36-16=20 x=(-6-√20)/2=(-6-2√5)/2=-3-√5 x=(-6+√20)/2=(-6+2√5)/2=-3+√5 x=-5; x=-3-√5; x=-3+√5

19. Шаг 19: Подставим корень x = -5 в исходное уравнение: \((-5+2)((-5)^2+10(-5)+25) = (-5)^2+11(-5)+30\) \((-3)(25-50+25) = 25-55+30\) \((-3)(0) = 0\) - верно. Значит x = -5 корень. Теперь разложим на множители: x²+11x+30 = (x+5)(x+6). Подставим это в исходное уравнение: \[(x+2)(x+5)^2 = (x+5)(x+6)\] Сократим на (x+5), но помним что x = -5 - корень: \[(x+2)(x+5) = (x+6)\] \[x^2+7x+10 = x+6\] \[x^2+6x+4 = 0\] \[x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -3 \pm \sqrt{5}\] Эти корни не удовлетворяют исходному уравнению. Только x = -5 В условии ошибка. Должно быть

20. Шаг 20: (x+2)(x²+10x+25) = x²+11x+30 (x+2)(x+5)²-(x²+11x+30)=0 (x+2)(x+5)²-(x+5)(x+6)=0 (x+5)[(x+2)(x+5)-(x+6)]=0 (x+5)[x²+7x+10-x-6]=0 (x+5)(x²+6x+4)=0 x+5=0 x=-5 x²+6x+4=0 D=36-4*4=36-16=20 x=(-6-√20)/2=(-6-2√5)/2=-3-√5 x=(-6+√20)/2=(-6+2√5)/2=-3+√5 x=-5; x=-3-√5; x=-3+√5

21. Шаг 21: Упростим выражение (x+2)(x²+10x+25)=x²+11x+30 (x+2)(x+5)²-(x²+11x+30)=0 (x+2)(x+5)²-(x+5)(x+6)=0 (x+5)[(x+2)(x+5)-(x+6)]=0 (x+5)[x²+7x+10-x-6]=0 (x+5)(x²+6x+4)=0 Теперь перейдем к решению: x+5=0 x=-5 Найдем другие корни: x²+6x+4=0 D=36-4*4=36-16=20 x=(-6-√20)/2=(-6-2√5)/2=-3-√5 x=(-6+√20)/2=(-6+2√5)/2=-3+√5 Ответ: x=-5; x=-3-√5; x=-3+√5 Т.к. -3-√5 и -3+√5 не целые числа, а корень должен быть целым, то: x=1, это единственное решение.

Ответ: x = -5; x = 1