2. Решите уравнение: a) 27-30+8=0; 9 3 6) log 3 x + 4logg x + 6log27 x = 10.

2. Решите уравнение:

а) $$27 \cdot (\frac{4}{9})^x - 30 \cdot (\frac{2}{3})^x + 8 = 0$$

$$27 \cdot ((\frac{2}{3})^2)^x - 30 \cdot (\frac{2}{3})^x + 8 = 0$$

Пусть $$t = (\frac{2}{3})^x$$, тогда уравнение примет вид:

$$27t^2 - 30t + 8 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-30)^2 - 4 \cdot 27 \cdot 8 = 900 - 864 = 36$$

$$t_1 = \frac{30 + \sqrt{36}}{2 \cdot 27} = \frac{30 + 6}{54} = \frac{36}{54} = \frac{2}{3}$$

$$t_2 = \frac{30 - \sqrt{36}}{2 \cdot 27} = \frac{30 - 6}{54} = \frac{24}{54} = \frac{4}{9}$$

Вернемся к замене:

1) $$\frac{2}{3} = (\frac{2}{3})^x \Rightarrow x = 1$$

2) $$\frac{4}{9} = (\frac{2}{3})^x \Rightarrow (\frac{2}{3})^2 = (\frac{2}{3})^x \Rightarrow x = 2$$

Ответ: 1; 2

---

б) $$log_3 x + 4log_9 x + 6log_{27} x = 10$$

Преобразуем логарифмы, приведя их к основанию 3:

$$log_9 x = \frac{log_3 x}{log_3 9} = \frac{log_3 x}{2}$$

$$log_{27} x = \frac{log_3 x}{log_3 27} = \frac{log_3 x}{3}$$

Подставим в уравнение:

$$log_3 x + 4 \cdot \frac{log_3 x}{2} + 6 \cdot \frac{log_3 x}{3} = 10$$

$$log_3 x + 2log_3 x + 2log_3 x = 10$$

$$5log_3 x = 10$$

$$log_3 x = 2$$

$$x = 3^2 = 9$$

Ответ: 9