Решение уравнений

a) $$\frac{x}{x-3} - \frac{5}{x+3} = \frac{18}{x^2-9}$$

Преобразуем уравнение, учитывая, что $$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$$. Умножим обе части уравнения на $$(x - 3)(x + 3)$$, чтобы избавиться от знаменателей:

$$x(x + 3) - 5(x - 3) = 18$$

Раскроем скобки:

$$x^2 + 3x - 5x + 15 = 18$$

Упростим уравнение:

$$x^2 - 2x + 15 - 18 = 0$$

$$x^2 - 2x - 3 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

$$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Проверим корни. $$x_1 = 3$$ не подходит, так как обращает знаменатели в ноль. $$x_2 = -1$$ подходит.

Ответ: $$x = -1$$

---

б) $$\frac{70}{x^2-16} - \frac{17}{x-4} = \frac{3x}{x+4}$$

Преобразуем уравнение, учитывая, что $$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$$. Умножим обе части уравнения на $$(x - 4)(x + 4)$$, чтобы избавиться от знаменателей:

$$70 - 17(x + 4) = 3x(x - 4)$$

Раскроем скобки:

$$70 - 17x - 68 = 3x^2 - 12x$$

Упростим уравнение:

$$2 - 17x = 3x^2 - 12x$$

$$3x^2 - 12x + 17x - 2 = 0$$

$$3x^2 + 5x - 2 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$$

Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

$$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2$$

Проверим корни. $$x_1 = \frac{1}{3}$$ и $$x_2 = -2$$ не обращают знаменатели в ноль, следовательно, являются корнями уравнения.

Ответ: $$x_1 = \frac{1}{3}, x_2 = -2$$