290. Решите уравнение: a) $$rac{2}{x-2} - \frac{10}{x+3} = \frac{50}{x^2+x-6} - 1$$; б) $$rac{x+5}{x-1} + \frac{2x-5}{x-7} - \frac{30-12x}{8x-x^2-7} = 0$$. 291. Найдите корни уравнения: a) $$rac{3x-2}{x-1} - \frac{2x+3}{x+3} = \frac{12x+4}{x^2+2x-3}$$, б) $$rac{5x-1}{x+7} - \frac{2x+2}{x-3} + \frac{63}{x^2+4x-21} = 0$$; в) $$\frac{x}{x^2 + 4x + 4} = \frac{4}{x^2-4} - \frac{16}{x^3 + 2x^2 - 4x - 8}$$. 292. При каких значениях а: а) сумма дробей $$rac{a+1}{a-2}$$ и $$\frac{a-4}{a+1}$$ равна дроби $$\frac{3a+3}{a^2-a-2}$$; б) разность дробей $$\frac{3a-5}{a^2-1}$$ и $$\frac{6a-5}{a-a^2}$$ равна дроби $$\frac{3a+2}{a^2+a}$$

Решим данные уравнения: 290. Решите уравнение: а) $$\frac{2}{x-2} - \frac{10}{x+3} = \frac{50}{x^2+x-6} - 1$$ * Преобразуем уравнение: $$\frac{2}{x-2} - \frac{10}{x+3} = \frac{50}{(x-2)(x+3)} - 1$$ * Умножим обе части уравнения на $$(x-2)(x+3)$$: $$2(x+3) - 10(x-2) = 50 - (x-2)(x+3)$$ * Раскроем скобки: $$2x + 6 - 10x + 20 = 50 - (x^2 + 3x - 2x - 6)$$ $$-8x + 26 = 50 - (x^2 + x - 6)$$ $$-8x + 26 = 50 - x^2 - x + 6$$ * Приведем подобные слагаемые и перенесем все в левую часть: $$x^2 - 7x - 30 = 0$$ * Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $$D = (-7)^2 - 4(1)(-30) = 49 + 120 = 169$$ * Найдем корни: $$x_1 = \frac{7 + \sqrt{169}}{2} = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10$$ $$x_2 = \frac{7 - \sqrt{169}}{2} = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$ * Проверим корни. $$x = -3$$ не подходит, так как обращает знаменатель в ноль. Значит, остается только один корень. Ответ: $$x = \textbf{10}$$ б) $$\frac{x+5}{x-1} + \frac{2x-5}{x-7} - \frac{30-12x}{8x-x^2-7} = 0$$ * Преобразуем уравнение: $$\frac{x+5}{x-1} + \frac{2x-5}{x-7} + \frac{30-12x}{x^2-8x+7} = 0$$ $$\frac{x+5}{x-1} + \frac{2x-5}{x-7} + \frac{30-12x}{(x-1)(x-7)} = 0$$ * Приведем к общему знаменателю: $$\frac{(x+5)(x-7) + (2x-5)(x-1) + 30-12x}{(x-1)(x-7)} = 0$$ * Упростим числитель: $$\frac{x^2 -7x +5x -35 + 2x^2 -2x -5x +5 + 30-12x}{(x-1)(x-7)} = 0$$ $$\frac{3x^2 -21x}{ (x-1)(x-7)} = 0$$ $$\frac{3x(x -7)}{ (x-1)(x-7)} = 0$$ * Получаем, что либо $$x = 0$$, либо $$x = 7$$. Однако, $$x = 7$$ не является решением, так как обращает знаменатель в ноль. Ответ: $$x = \textbf{0}$$ 291. Найдите корни уравнения: а) $$\frac{3x-2}{x-1} - \frac{2x+3}{x+3} = \frac{12x+4}{x^2+2x-3}$$ * Преобразуем уравнение: $$\frac{3x-2}{x-1} - \frac{2x+3}{x+3} = \frac{12x+4}{(x-1)(x+3)}$$ * Приведем к общему знаменателю: $$\frac{(3x-2)(x+3) - (2x+3)(x-1)}{(x-1)(x+3)} = \frac{12x+4}{(x-1)(x+3)}$$ * Умножим обе части на $$(x-1)(x+3)$$: $$(3x-2)(x+3) - (2x+3)(x-1) = 12x+4$$ * Раскроем скобки: $$3x^2 + 9x - 2x - 6 - (2x^2 - 2x + 3x - 3) = 12x+4$$ $$3x^2 + 7x - 6 - 2x^2 - x + 3 = 12x+4$$ $$x^2 + 6x - 3 = 12x+4$$ * Перенесем все в левую часть: $$x^2 - 6x - 7 = 0$$ * Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $$D = (-6)^2 - 4(1)(-7) = 36 + 28 = 64$$ * Найдем корни: $$x_1 = \frac{6 + \sqrt{64}}{2} = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7$$ $$x_2 = \frac{6 - \sqrt{64}}{2} = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ * Проверим корни. $$x = -1$$ не подходит, так как обращает знаменатель в ноль. Значит, остается только один корень. Ответ: $$x = \textbf{7}$$ б) $$\frac{5x-1}{x+7} - \frac{2x+2}{x-3} + \frac{63}{x^2+4x-21} = 0$$ * Преобразуем уравнение: $$\frac{5x-1}{x+7} - \frac{2x+2}{x-3} + \frac{63}{(x+7)(x-3)} = 0$$ * Приведем к общему знаменателю: $$\frac{(5x-1)(x-3) - (2x+2)(x+7) + 63}{(x+7)(x-3)} = 0$$ * Умножим обе части на $$(x+7)(x-3)$$: $$(5x-1)(x-3) - (2x+2)(x+7) + 63 = 0$$ * Раскроем скобки: $$5x^2 - 15x - x + 3 - (2x^2 + 14x + 2x + 14) + 63 = 0$$ $$5x^2 - 16x + 3 - 2x^2 - 16x - 14 + 63 = 0$$ * Приведем подобные слагаемые: $$3x^2 - 32x + 52 = 0$$ * Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $$D = (-32)^2 - 4(3)(52) = 1024 - 624 = 400$$ * Найдем корни: $$x_1 = \frac{32 + \sqrt{400}}{6} = \frac{32 + 20}{6} = \frac{52}{6} = \frac{26}{3}$$ $$x_2 = \frac{32 - \sqrt{400}}{6} = \frac{32 - 20}{6} = \frac{12}{6} = 2$$ Ответ: $$x_1 = \frac{\textbf{26}}{\textbf{3}}$$, $$x_2 = \textbf{2}$$ в) $$\frac{x}{x^2 + 4x + 4} = \frac{4}{x^2-4} - \frac{16}{x^3 + 2x^2 - 4x - 8}$$ * Преобразуем уравнение: $$\frac{x}{(x+2)^2} = \frac{4}{(x-2)(x+2)} - \frac{16}{x^2(x+2) - 4(x+2)}$$ $$\frac{x}{(x+2)^2} = \frac{4}{(x-2)(x+2)} - \frac{16}{(x+2)(x^2 - 4)}$$ $$\frac{x}{(x+2)^2} = \frac{4}{(x-2)(x+2)} - \frac{16}{(x+2)(x-2)(x+2)}$$ * Приведем к общему знаменателю: $$\frac{x}{(x+2)^2} = \frac{4(x+2) - 16}{(x-2)(x+2)^2}$$ $$\frac{x}{(x+2)^2} = \frac{4x + 8 - 16}{(x-2)(x+2)^2}$$ $$\frac{x}{(x+2)^2} = \frac{4x - 8}{(x-2)(x+2)^2}$$ $$\frac{x}{(x+2)^2} = \frac{4(x - 2)}{(x-2)(x+2)^2}$$ * Умножим обе части на $$(x-2)(x+2)^2$$: $$x(x-2) = 4(x+2)$$ $$x^2 - 2x = 4x + 8$$ * Перенесем все в левую часть: $$x^2 - 6x - 8 = 0$$ * Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $$D = (-6)^2 - 4(1)(-8) = 36 + 32 = 68$$ * Найдем корни: $$x_1 = \frac{6 + \sqrt{68}}{2} = \frac{6 + 2\sqrt{17}}{2} = 3 + \sqrt{17}$$ $$x_2 = \frac{6 - \sqrt{68}}{2} = \frac{6 - 2\sqrt{17}}{2} = 3 - \sqrt{17}$$ Ответ: $$x_1 = \textbf{3 + \sqrt{17}}$$, $$x_2 = \textbf{3 - \sqrt{17}}$$ 292. При каких значениях а: а) сумма дробей $$\frac{a+1}{a-2}$$ и $$\frac{a-4}{a+1}$$ равна дроби $$\frac{3a+3}{a^2-a-2}$$; * Запишем уравнение: $$\frac{a+1}{a-2} + \frac{a-4}{a+1} = \frac{3a+3}{a^2-a-2}$$ * Разложим знаменатель правой части: $$a^2 - a - 2 = (a-2)(a+1)$$ * Приведем к общему знаменателю: $$\frac{(a+1)^2 + (a-4)(a-2)}{(a-2)(a+1)} = \frac{3a+3}{(a-2)(a+1)}$$ * Умножим обе части на $$(a-2)(a+1)$$: $$(a+1)^2 + (a-4)(a-2) = 3a+3$$ $$a^2 + 2a + 1 + a^2 - 6a + 8 = 3a+3$$ $$2a^2 - 4a + 9 = 3a+3$$ $$2a^2 - 7a + 6 = 0$$ * Найдем дискриминант: $$D = (-7)^2 - 4(2)(6) = 49 - 48 = 1$$ * Найдем корни: $$a_1 = \frac{7 + \sqrt{1}}{4} = \frac{7+1}{4} = \frac{8}{4} = 2$$ $$a_2 = \frac{7 - \sqrt{1}}{4} = \frac{7-1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$ * Проверим корни. $$a = 2$$ не подходит, так как обращает знаменатель в ноль. Ответ: $$a = \textbf{\frac{3}{2}}$$ б) разность дробей $$\frac{3a-5}{a^2-1}$$ и $$\frac{6a-5}{a-a^2}$$ равна дроби $$\frac{3a+2}{a^2+a}$$ * Запишем уравнение: $$\frac{3a-5}{a^2-1} - \frac{6a-5}{a-a^2} = \frac{3a+2}{a^2+a}$$ $$\frac{3a-5}{(a-1)(a+1)} + \frac{6a-5}{a(a-1)} = \frac{3a+2}{a(a+1)}$$ * Приведем к общему знаменателю: $$\frac{a(3a-5) + (6a-5)(a+1)}{a(a-1)(a+1)} = \frac{(3a+2)(a-1)}{a(a+1)(a-1)}$$ * Умножим обе части на $$a(a-1)(a+1)$$: $$a(3a-5) + (6a-5)(a+1) = (3a+2)(a-1)$$ $$3a^2 - 5a + 6a^2 + a - 5 = 3a^2 - a + 2a - 2$$ $$9a^2 - 4a - 5 = 3a^2 + a - 2$$ $$6a^2 - 5a - 3 = 0$$ * Найдем дискриминант: $$D = (-5)^2 - 4(6)(-3) = 25 + 72 = 97$$ * Найдем корни: $$a_1 = \frac{5 + \sqrt{97}}{12}$$ $$a_2 = \frac{5 - \sqrt{97}}{12}$$ Ответ: $$a_1 = \textbf{\frac{5 + \sqrt{97}}{12}}$$, $$a_2 = \textbf{\frac{5 - \sqrt{97}}{12}}$$