Решите уравнение x^4 = (x - 20)^2.

Решение:

Перепишем уравнение:

\( x^4 = (x - 20)^2 \)

Это уравнение можно решить двумя способами:

Способ 1: Через квадратные корни

Извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения:

\( √(x^4) = √((x - 20)^2) \)

\( |x^2| = |x - 20| \)

Поскольку \( x^2 \) всегда неотрицательно, \( |x^2| = x^2 \).

\( x^2 = |x - 20| \)

Это приводит к двум случаям:

Случай 1: \( x - 20 ≥ 0 \), то есть \( x ≥ 20 \).

\( x^2 = x - 20 \)

\( x^2 - x + 20 = 0 \)

Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4 \times 1 \times 20 = 1 - 80 = -79 \). Так как \( D < 0 \), действительных корней в этом случае нет.

Случай 2: \( x - 20 < 0 \), то есть \( x < 20 \).

\( x^2 = -(x - 20) \)

\( x^2 = -x + 20 \)

\( x^2 + x - 20 = 0 \)

Дискриминант \( D = 1^2 - 4 \times 1 \times (-20) = 1 + 80 = 81 \).

Корни:

\( x_1 = \frac{-1 + √81}{2 \times 1} = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4 \).

\( x_2 = \frac{-1 - √81}{2 \times 1} = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \).

Оба корня \( 4 \) и \( -5 \) удовлетворяют условию \( x < 20 \).

Способ 2: Через разность квадратов

Перенесём всё в одну сторону:

\( x^4 - (x - 20)^2 = 0 \)

Применим формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \), где \( a = x^2 \) и \( b = x - 20 \).

\( (x^2 - (x - 20))(x^2 + (x - 20)) = 0 \)

\( (x^2 - x + 20)(x^2 + x - 20) = 0 \)

Это произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Множитель 1: \( x^2 - x + 20 = 0 \)

Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4 \times 1 \times 20 = 1 - 80 = -79 \). Действительных корней нет.

Множитель 2: \( x^2 + x - 20 = 0 \)

Дискриминант \( D = 1^2 - 4 \times 1 \times (-20) = 1 + 80 = 81 \).

Корни:

\( x_1 = \frac{-1 + √81}{2} = \frac{-1 + 9}{2} = 4 \).

\( x_2 = \frac{-1 - √81}{2} = \frac{-1 - 9}{2} = -5 \).

Ответ: 4, -5.