20. Решите уравнение $$x^2 + x + \sqrt{2-x} = \sqrt{2-x} + 12$$.

Решим уравнение $$x^2 + x + \sqrt{2-x} = \sqrt{2-x} + 12$$.

Сначала упростим уравнение, вычтем $$\sqrt{2-x}$$ из обеих частей:

$$x^2 + x = 12$$

Теперь перенесем 12 в левую часть уравнения:

$$x^2 + x - 12 = 0$$

Решим квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета или дискриминантом.

По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение равно -12. Подходящие корни: 3 и -4.

Проверим корни:

При x = 3: $$3^2 + 3 - 12 = 9 + 3 - 12 = 0$$. Подходит.

При x = -4: $$(-4)^2 + (-4) - 12 = 16 - 4 - 12 = 0$$. Подходит.

Теперь нужно проверить, что подкоренное выражение $$2-x$$ не отрицательно, т.е. $$2-x \geq 0$$ или $$x \leq 2$$.

x = 3 не удовлетворяет условию $$x \leq 2$$, следовательно, не является решением.

x = -4 удовлетворяет условию $$x \leq 2$$, следовательно, является решением.

Ответ: -4