6. Решите уравнение \(\sqrt{3x+22} = 2-x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

Решим уравнение \(\sqrt{3x+22} = 2-x\) 1. Возведём обе части уравнения в квадрат: \[(\sqrt{3x+22})^2 = (2-x)^2\] \[3x+22 = 4 - 4x + x^2\] 2. Приведём уравнение к стандартному виду квадратного уравнения: \[x^2 - 4x - 3x + 4 - 22 = 0\] \[x^2 - 7x - 18 = 0\] 3. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант D: \[D = (-7)^2 - 4 * 1 * (-18) = 49 + 72 = 121\] 4. Найдем корни уравнения: \[x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{121}}{2*1} = \frac{7 + 11}{2} = \frac{18}{2} = 9\] \[x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{121}}{2*1} = \frac{7 - 11}{2} = \frac{-4}{2} = -2\] 5. Проверим найденные корни, подставив их в исходное уравнение \(\sqrt{3x+22} = 2-x\): * Проверка для \(x_1 = 9\): \[\sqrt{3 * 9 + 22} = 2 - 9\] \[\sqrt{27 + 22} = -7\] \[\sqrt{49} = -7\] \[7 = -7\] (Неверно, так как корень не может быть отрицательным. Значит, \(x_1 = 9\) - посторонний корень.) * Проверка для \(x_2 = -2\): \[\sqrt{3 * (-2) + 22} = 2 - (-2)\] \[\sqrt{-6 + 22} = 4\] \[\sqrt{16} = 4\] \[4 = 4\] (Верно, значит, \(x_2 = -2\) - корень уравнения) Таким образом, уравнение имеет один корень: \(x = -2\). Ответ: -2