7. Найдите значение выражения \(0.75^{\frac{1}{4}} \cdot 4^2 \cdot 12^\frac{3}{4}\).

Для упрощения выражения \(0.75^{\frac{1}{4}} \cdot 4^2 \cdot 12^\frac{3}{4}\) выполним следующие шаги: 1. Представим 0.75 как \(\frac{3}{4}\) и 12 как \(4 \cdot 3\). \[(\frac{3}{4})^{\frac{1}{4}} \cdot 4^2 \cdot (4 \cdot 3)^\frac{3}{4}\] 2. Раскроем скобки, используя свойство \((ab)^n = a^n \cdot b^n\): \[(\frac{3}{4})^{\frac{1}{4}} \cdot 4^2 \cdot 4^{\frac{3}{4}} \cdot 3^{\frac{3}{4}}\] 3. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями: \[3^{\frac{1}{4}} \cdot 3^{\frac{3}{4}} \cdot 4^{-\frac{1}{4}} \cdot 4^2 \cdot 4^{\frac{3}{4}}\] 4. Используем свойство \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\): \[3^{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} \cdot 4^{-\frac{1}{4} + 2 + \frac{3}{4}}\] \[3^{\frac{4}{4}} \cdot 4^{\frac{8}{4}}\] 5. Упростим степени: \[3^1 \cdot 4^2\] 6. Вычислим: \[3 \cdot 16 = 48\] Ответ: 48