Решите уравнение: \( \sqrt{3}\sin 3x = \cos 3x \)

Решение:

Перенесём \( \cos 3x \) в левую часть:

\[ \sqrt{3}\sin 3x - \cos 3x = 0 \]

Разделим обе части уравнения на \( \cos 3x \) (предполагая, что \( \cos 3x \) не равен нулю. Если \( \cos 3x = 0 \), то \( \sin 3x = \pm 1 \), и уравнение \( \sqrt{3}(\pm 1) - 0 = 0 \) не выполняется. Следовательно, \( \cos 3x \) не равен нулю).

\[ \frac{\sqrt{3}\sin 3x}{\cos 3x} - \frac{\cos 3x}{\cos 3x} = 0 \]

\[ \sqrt{3}\tan 3x - 1 = 0 \]

\[ \sqrt{3}\tan 3x = 1 \]

\[ \tan 3x = \frac{1}{\sqrt{3}} \]

Теперь найдём \( x \):

\[ 3x = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \pi k \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \]

Так как \( \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6} \), то:

\[ 3x = \frac{\pi}{6} + \pi k \]

Разделим на 3:

\[ x = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \frac{\pi}{18} + \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} \).