Решите неравенство: tg x ≤ 0

Решение:

Рассмотрим график функции \( y = \tan x \). Функция \( \tan x \) отрицательна (т.е. \( \tan x \le 0 \)) на промежутках, где график функции находится ниже или на оси абсцисс.

Период функции \( \tan x \) равен \( \pi \). Основной промежуток, где \( \tan x \) определён, — это \( (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) \).

На интервале \( (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) \) функция \( \tan x \) равна нулю при \( x = 0 \). Она отрицательна на интервале \( (-\frac{\pi}{2}; 0] \).

Учитывая периодичность функции \( \tan x \), общим решением неравенства \( \tan x \le 0 \) будет:

\[ -\frac{\pi}{2} + \pi k \le x \le \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x \in \left(-\frac{\pi}{2} + \pi k; \pi k\right], \quad k \in \mathbb{Z} \).