Решение уравнения методом выделения полного квадрата

Дано уравнение: $$x^2 - 20x + 36 = 0.$$

Чтобы решить уравнение методом выделения полного квадрата, выполним следующие шаги:

1. Выделим полный квадрат из выражения $$x^2 - 20x + 36$$.
2. Представим $$x^2 - 20x$$ как $$x^2 - 2 cdot 10 cdot x$$. Чтобы получить полный квадрат, добавим и вычтем $$10^2 = 100$$:$$ x^2 - 20x + 100 - 100 + 36 = (x - 10)^2 - 100 + 36 = (x - 10)^2 - 64$$
3. Исходное уравнение теперь можно записать как:$$(x - 10)^2 - 64 = 0$$
4. Перенесем 64 в правую часть уравнения:$$(x - 10)^2 = 64$$
5. Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:$$(x - 10) = \pm \sqrt{64} = \pm 8$$
6. Теперь у нас есть два возможных случая:
   • $$x - 10 = 8$$ => $$x = 10 + 8 = 18$$
   • $$x - 10 = -8$$ => $$x = 10 - 8 = 2$$

Таким образом, решения уравнения: $$x = 18$$ и $$x = 2$$.

Ответ: $$x_1 = 18, x_2 = 2$$

Нахождение области определения функции

Дана функция: $$y = \frac{\sqrt{7-x}}{x^2 + 4x}$$.

Чтобы найти область определения функции, нужно учесть два условия:

1. Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным, то есть $$7 - x \geq 0$$.
2. Знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $$x^2 + 4x
   eq 0$$.

Решим первое неравенство:

$$7 - x \geq 0$$

$$x \leq 7$$

Решим второе условие:

$$x^2 + 4x
eq 0$$

$$x(x + 4)
eq 0$$

Это означает, что $$x
eq 0$$ и $$x
eq -4$$.

Объединяя все условия, получаем, что область определения функции - это все значения $$x$$, такие что $$x \leq 7$$, и при этом $$x
eq 0$$ и $$x
eq -4$$.

В интервальной форме это можно записать как:

$$(-\infty; -4) \cup (-4; 0) \cup (0; 7]$$

Ответ: $$(-\infty; -4) \cup (-4; 0) \cup (0; 7]$$