Решите уравнение: \( \frac{2x^2-3}{x-2} + \frac{4x-3}{x-2} = 0 \)

Решение:

Данное уравнение является дробно-рациональным. Так как знаменатели у дробей одинаковые, мы можем сложить числители:

\( \frac{(2x^2-3) + (4x-3)}{x-2} = 0 \)

Сложим члены в числителе:

\( \frac{2x^2 + 4x - 6}{x-2} = 0 \)

Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Приравняем числитель к нулю:

\( 2x^2 + 4x - 6 = 0 \)

Разделим всё уравнение на 2 для удобства:

\( x^2 + 2x - 3 = 0 \)

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{16} = 4 \)

Найдем корни:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1 \)

\( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 4}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3 \)

2. Проверим знаменатель:

Знаменатель \( x-2 \) не должен быть равен нулю, то есть \( x \neq 2 \).

Оба найденных корня (1 и -3) не равны 2, поэтому они подходят.

Ответ: x₁ = 1, x₂ = -3.