Решите уравнение: β) 100(0,2x + 1)(0,04x² - 0,2x + 1) = 5x(0,16x²-4).

Решение уравнения:

Для решения этого уравнения преобразуем десятичные дроби в обыкновенные и применим формулы сокращенного умножения.

1. Шаг 1: Преобразуем десятичные дроби: \( 0,2 = \frac{1}{5} \), \( 0,04 = \frac{1}{25} \), \( 0,16 = \frac{4}{25} \).
2. Шаг 2: Перепишем уравнение с обыкновенными дробями: \( 100(\frac{1}{5}x + 1)(\frac{1}{25}x^2 - \frac{1}{5}x + 1) = 5x(\frac{4}{25}x^2 - 4) \).
3. Шаг 3: Заметим, что \( \frac{1}{25}x^2 - \frac{1}{5}x + 1 \) является частью формулы куба суммы \( (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \) или куба разности \( (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \). Здесь \( a = \frac{1}{5}x \) и \( b = 1 \). Тогда \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) и \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \). Рассмотрим \( (\frac{1}{5}x + 1)(\frac{1}{25}x^2 - \frac{1}{5}x + 1) \). Это похоже на разность кубов \( (a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3 \) с \( a = \frac{1}{5}x \) и \( b = 1 \). Тогда \( (\frac{1}{5}x + 1)(\frac{1}{25}x^2 - \frac{1}{5}x + 1) = (\frac{1}{5}x)^3 + 1^3 = \frac{1}{125}x^3 + 1 \).
4. Шаг 4: Подставим это в левую часть: \( 100(\frac{1}{125}x^3 + 1) = \frac{100}{125}x^3 + 100 = \frac{4}{5}x^3 + 100 \).
5. Шаг 5: Преобразуем правую часть: \( 5x(\frac{4}{25}x^2 - 4) = \frac{20}{25}x^3 - 20x = \frac{4}{5}x^3 - 20x \).
6. Шаг 6: Приравняем левую и правую части: \( \frac{4}{5}x^3 + 100 = \frac{4}{5}x^3 - 20x \).
7. Шаг 7: Сократим \( \frac{4}{5}x^3 \) с обеих сторон: \( 100 = -20x \).
8. Шаг 8: Найдем \( x \), разделив обе части на \( -20 \): \( x = \frac{100}{-20} = -5 \).

Ответ: x = -5