Решение уравнения

Решим уравнение $$(5 – 2x)^4 – 13(5 - 2x)^2 + 36 = 0.$$

Пусть $$t = (5-2x)^2$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2 - 13t + 36 = 0$$

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$$D = (-13)^2 - 4 cdot 1 cdot 36 = 169 - 144 = 25$$

Так как $$D > 0$$, уравнение имеет два корня:

$$t_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{25}}{2 cdot 1} = \frac{13 + 5}{2} = \frac{18}{2} = 9$$ $$t_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{25}}{2 cdot 1} = \frac{13 - 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

Теперь вернемся к замене и решим два уравнения:

1. $$(5-2x)^2 = 9$$
2. $$(5-2x)^2 = 4$$

1) $$(5-2x)^2 = 9$$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$$5-2x = \pm 3$$

Решим два уравнения:

• $$5-2x = 3$$
• $$5-2x = -3$$

Решим первое уравнение:

$$5 - 2x = 3$$ $$-2x = 3 - 5$$ $$-2x = -2$$ $$x_1 = 1$$

Решим второе уравнение:

$$5 - 2x = -3$$ $$-2x = -3 - 5$$ $$-2x = -8$$ $$x_2 = 4$$

2) $$(5-2x)^2 = 4$$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$$5-2x = \pm 2$$

Решим два уравнения:

• $$5-2x = 2$$
• $$5-2x = -2$$

Решим первое уравнение:

$$5 - 2x = 2$$ $$-2x = 2 - 5$$ $$-2x = -3$$ $$x_3 = \frac{3}{2} = 1.5$$

Решим второе уравнение:

$$5 - 2x = -2$$ $$-2x = -2 - 5$$ $$-2x = -7$$ $$x_4 = \frac{7}{2} = 3.5$$

Ответ: $$x_1 = 1$$, $$x_2 = 4$$, $$x_3 = 1.5$$, $$x_4 = 3.5$$