Решение уравнения

Для решения уравнения $$\sqrt[3]{9^{2x+1}} = \frac{3}{5\sqrt[3]{3}}$$ выполним следующие шаги:

1. Преобразуем правую часть уравнения, чтобы избавиться от корня в знаменателе:

$$\frac{3}{5\sqrt[3]{3}} = \frac{3 \cdot \sqrt[3]{3^2}}{5\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{3^2}} = \frac{3 \sqrt[3]{9}}{5 \cdot 3} = \frac{\sqrt[3]{9}}{5}$$

2. Теперь уравнение имеет вид:

$$\sqrt[3]{9^{2x+1}} = \frac{\sqrt[3]{9}}{5}$$

3. Возведем обе части уравнения в куб, чтобы избавиться от корня:

$$(\sqrt[3]{9^{2x+1}})^3 = (\frac{\sqrt[3]{9}}{5})^3$$

$$9^{2x+1} = \frac{9}{125}$$

4. Представим обе части уравнения как степени числа 3:

$$(3^2)^{2x+1} = \frac{3^2}{5^3}$$

$$3^{2(2x+1)} = \frac{3^2}{5^3}$$

$$3^{4x+2} = \frac{3^2}{125}$$

5. Разделим обе части уравнения на $$3^2$$:

$$\frac{3^{4x+2}}{3^2} = \frac{3^2}{125 \cdot 3^2}$$

$$3^{4x} = \frac{1}{125}$$

6. Представим правую часть уравнения как степень числа 3:

$$3^{4x} = 5^{-3}$$

Чтобы решить уравнение, нужно взять логарифмы по основанию 3 от обеих частей:

$$4x \cdot \log_3(3) = \log_3(5^{-3})$$

$$4x = -3 \log_3(5)$$

7. Выразим $$x$$:

$$x = -\frac{3}{4} \log_3(5)$$

Другой способ решения:

$$3^{4x} = \frac{1}{125}$$

$$3^{4x} = \frac{1}{5^3}$$

$$3^{4x} = (5)^{-3}$$

Берем логарифм по основанию 3 от обеих частей:

$$\log_3(3^{4x}) = \log_3(5^{-3})$$

$$4x = -3 \log_3(5)$$

$$x = -\frac{3}{4} \log_3(5)$$

Ответ: $$x = -\frac{3}{4} \log_3(5)$$