21. Решите уравнение $$\frac{(x^4-9x^2+20)}{|x-2|} = 0$$

Question

Вопрос:

Ответ:

Accepted Answer

Определим ОДЗ (область допустимых значений) уравнения. Так как знаменатель не может быть равен нулю, то $$|x - 2|
eq 0$$, следовательно, $$x
eq 2$$.
Решим уравнение $$x^4 - 9x^2 + 20 = 0$$. Введем замену $$t = x^2$$, тогда уравнение примет вид $$t^2 - 9t + 20 = 0$$.
Найдем корни квадратного уравнения $$t^2 - 9t + 20 = 0$$.
Дискриминант $$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1$$.
Корни $$t_1 = \frac{9 + \sqrt{1}}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ и $$t_2 = \frac{9 - \sqrt{1}}{2} = \frac{8}{2} = 4$$.
Вернемся к переменной $$x$$.
$$x^2 = 5$$, тогда $$x = \pm \sqrt{5}$$.
$$x^2 = 4$$, тогда $$x = \pm 2$$.
Учитывая ОДЗ ($$x
eq 2$$), исключаем $$x = 2$$ из решения.
Таким образом, решения уравнения: $$x = \sqrt{5}$$, $$x = -\sqrt{5}$$ и $$x = -2$$.

Ответ: $$x = \pm \sqrt{5}, x = -2$$