Решение иррационального уравнения

Для решения уравнения \(\sqrt{5x + 6} = -x\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Возведение обеих частей в квадрат:

   Чтобы избавиться от квадратного корня, возведём обе части уравнения в квадрат:

   \(\left(\sqrt{5x + 6}\right)^2 = (-x)^2\)

   Это упрощается до:

   \[5x + 6 = x^2\]

2. Преобразование уравнения к квадратному виду:

   Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

   \[x^2 - 5x - 6 = 0\]

3. Решение квадратного уравнения:

   Решим квадратное уравнение \(x^2 - 5x - 6 = 0\) через дискриминант:

   \[D = b^2 - 4ac\]

   В нашем случае \(a = 1\), \(b = -5\), \(c = -6\), поэтому:

   \[D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49\]

   Так как \(D > 0\), уравнение имеет два корня. Найдём их:

   \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{49}}{2} = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6\]

   \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{49}}{2} = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1\]

4. Проверка корней:

   Необходимо проверить оба корня, так как возведение в квадрат может привести к появлению посторонних корней.

   • Проверка корня \(x_1 = 6\):

     \[\sqrt{5 \cdot 6 + 6} = -6\]

     \[\sqrt{30 + 6} = -6\]

     \[\sqrt{36} = -6\]

     \[6 = -6\]

     Это неверно, значит, \(x_1 = 6\) не является решением.

   • Проверка корня \(x_2 = -1\):

     \[\sqrt{5 \cdot (-1) + 6} = -(-1)\]

     \[\sqrt{-5 + 6} = 1\]

     \[\sqrt{1} = 1\]

     \[1 = 1\]

     Это верно, значит, \(x_2 = -1\) является решением.

Ответ:

Единственным решением уравнения является \(\mathbf{x = -1}\).